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troduit la nolion capitale du genre des courbes algébriques, et partagé 

 celles-ci en différentes classes, deux courbes étant de la même classe quand 

 elles se correspondent uniformément. T^'illustre géomètre, qui aimait les 

 grands horizons, avait peu insisté sur plus d'un point difficile, en particu- 

 lier sur ce qui concerne les singularités élevées. Halphen donne une formule 

 générale, applicable à tous les cas, pour la détermination du genre d'une 

 courbe algébrique; puis, passant à l'étude des courbes d'une même classe, il 

 approfondit une |)roposition remarquable donnée par M. Nœther, d'après la- 

 (pielleon peut IrouAer days toute classe des courbes n'ayant que des singula- 

 rités ordinaires. Le savant géomètre allemand emplovait pour celte transfor- 

 mation une succession de substitutions quadratiques: Halphen veut trouver 

 une transformée avant avec la courbe initiale des rapports géométriques 

 simples : il v réussit de deux manières (lilïérentcs. Dans une première solu- 

 tion, il établit que toute courbe plane algébrique est la perspective d'une 

 courbe gauche n'ayant qu'un point singulier, et telle qu'en ce point toutes 

 les branches aient des tangentes distinctes; faisant alors la perspective de 

 cette courbe gauche d'un point de vue arbitraire, il obtient la transformée 

 cherchée. La seconde solution se rattache à l'étude d'une série de courbes 

 analogues aux développées, dans laquelle apparaissent dans tout leur éclat 

 la science profonde et le remarquable talent de notre auteur. Prenant une 

 conique arbitraire dans le plan de la courbe à transformer, il considère en 

 chaque point de celle-ci sa tangente et la polaire du ])oint par rapport à la 

 conique; le lieu de l'intersection de ces deux droites donne une trans- 

 formée uniforme de la courbe. Halphen établit qu'après avoir répété 

 un nombre fini de fois cette transformation, on arrivera à une courbe 

 n'ayant plus que des points singuliers ordinaires. Puis il démontre ce théo- 

 rème si curieux et si caché, qu'à partir d'un certain rang les degrés et les 

 classes des transformées précédentes forment deux progressions arith- 

 métiques de même raison. Ce beau résultat comprend, comme cas par- 

 ticulier, cette étonnante propriété des développées des courbes' algé- 

 briques, dont les degrés et les classes sont, à partir d'un certain rang, en 

 progression arithmétique. 



» Ces travaux approfondis sur la théorie des courbes permirent à Hal- 

 phen de reprendre ses études sur l'élimination. La recherche des points 

 d'une courbe algébrique, qui satisfont à une condition exprimée par une 

 équation différentielle algébrique donnée, se présente en Géométrie dans 

 divers cas particuliers, j)ar exemple dans la recherche des points d'in- 

 flexion. La question méritait d'être abordée dans toute sa généralité. 



