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 Halphen se place au même point de vue que clans la ihéorie des caracté- 

 ristiques, c'est-à-dire cherche à mettre en évidence les éléments relatifs à 

 la courbe et les éléments dépendant de la condition, qui est ici l'équation 

 différentielle. Pour les équations du premier ordre, la solution est de même 

 forme que dans le cas classique des caractéristiques; pour celles du second 

 ordre, on a encore une formule analogue, mais renfermant trois termes 

 au lieu de deux. La généralisation semble immédiate, mais l'analogie trom- 

 perait étrangement; pour les équations d'ordre supérieur, on ne peut plus 

 d'une manière générale fixer de limites pour le nombre des termes. C'est là 

 un résultat dont l'intérêt philosophique est très grand; il montre, avec la 

 dernière évidence, que les singularités élevées des courbes algébriques ne 

 peuvent avoir pour équivalents, dans toute question, un nombre déterminé 

 de singularités ordinaires indépendant à la fois de cette question et de la 

 courbe que l'on étudie. Bientôt a])rès, ces difficiles recherches sont éten- 

 dues aux courbes gauches, et, dans quelques cas particuliers, aux surfaces 

 algébriques. 



» Dans un des Mémoires précédents, Halphen avait rencontré des 

 équations différentielles restant inaltérées par une transformation homo- 

 graphique quelconque. Ce nouveau genre d'invariance excita son intérêt; 

 il réussit à former toutes les équations jouissant de cette propriété, et 

 jirésenla ce travail comme Thèse, en 1878, sous le titre <1' Invariants diffé- 

 rentiels. L'équation différentielle des lignes droites et celle des coniques 

 donnaient immédiatement deux exemples d'invariants. La découverte 

 d'un invariant du septième ordre, amenée par les considérations géomé- 

 triques les plus ingénieuses, permit à Halphen de développer la théorie 

 générale qu'il étendit ensuite aux courbes gauches. 



I) Ces résultats, si intéressants en eux-mêmes, allaient permettre à leur 

 auteur d'aborder une importante question de Calcul intégral. Dans deux 

 Notes mémorables, Laguerre venait d'appeler l'attention des géomètres 

 sur les invariants des équations différentielles linéaires. Halphen voit de 

 suite le rapport qu'il y a entre ses recherches antérieures et la notion 

 nouvelle introduite par Laguerre; ainsi assuré, en quelque sorte a priori, 

 de la possibilité d'édifier une théorie complète des invariants des- équa- 

 tions linéaires, il s'attaque à ce nouveau jjroblème et en approfondit tous 

 les détails. Le nombre des invariants absolus distincts d'une équation 

 linéaire est inférieur de deux unités à son ordre; on peut les obtenir d'une 

 manière régulière, en ramenant l'équation à une forme canonique, forme 

 dont l'introduction dans cette question, comme dans certaines théories 



