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 algébriques parallèles, est bien digne de remarque. Halphen montra l'in- 

 térêt de ses recherches au point de vue du Calcul intégral, en apprenant à 

 reconnaître si une équation différentielle linéaire est susceptible d'être 

 ramenée à certains types connus déjà intégrés, an moyen d'un change- 

 ment de Aariable et de fonction qui n'altère pas sa forme. On comprend 

 que les relations entre les invariants absolus doivent jouer, dans une 

 telle question, un rôle capital; c'est, en effet, de la nature de ces relations 

 qu'Halphen déduisit la solution du beau problème qu'il s'était posé. 

 Ij' Académie avait proposé, comme sujet du grand prix des Sciences ma- 

 thématiques pour 1880, de perfectionner la théorie des équations diffé- 

 rentielles linéaires; le pri\ fut décerné au Mémoire 5«r /a réduction des 

 équations linéaires aux formes intégrahles. 



n Bientôt après, Halphen remportait un nouveau succès académique. 

 L'Académie des Sciences de Berlin avait mis au concours, pour le prix 

 Steiner de 1882, la solution d'une question importante concernant les 

 courbes gauches algébriques. Hal|)hen. nous l'avons dit, possédait, dès 

 1870, d'importants résultats sur cette théorie; ce kii fut l'occasion de re- 

 prendre son travail qui n'avait pas été publié, et de le compléter. H l'en- 

 vova au concours et reçut le prix, qui fut doublé, en même temps que 

 M. Nœther. Cet admirable Mémoire me paraît l'reuvre la plus profonde 

 d'Halphen. H a réussi à énumérer et à classer en diverses familles les 

 courbes d'un même degré. Dans la théorie si difficile des courbes gauches 

 algébriques, c'est sur l'extension des formules de Pliicker qu'avaient d'a- 

 bord porté les efforts des géomètres; elle fut obtenue, il y a longtemps 

 déjà, par M. Cayley, et complétée par M. Salmon. Dans ces formules s'in- 

 troduisent, outre le degré, certains nombres entiers relatifs à la courbe 

 considérée; mais ceux-ci ne suffisent pas, en général, à distinguer une fa- 

 mille de courbes. Parmi eux, il en est un d'une importance extrême; c'est 

 le nombre des points doubles apparents. Pour une courbe d'un degré 

 donné, ce nombre a une limite supérieure, facile à obtenir. Bien autre- 

 ment cachée était la limite inférieure; Halphen réussit à trouver la limite 

 véritable, c'est-à-dire celle qui peut être effectivement atteinte, et dé- 

 montre ce résultat si saillant que les courbes correspondantes sont situées 

 sur des surfaces du second ilegré. I.a classification repose sur la considé- 

 ration de l'ordre minimum d'une surface algébrique passant par la courbe 

 gauche ; pour l'obtenir, Halphen introduit différentes fonctions numériques 

 du degré de la courbe, dont les valeurs sont comprises entre le maximum 

 et le minimum que nous venons de signaler, et l'ordre cherché déj)end 



