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 existe une infinité de fonctions entières ^(a;) vérifiant l'identité 



(3) l(x + o>)-l(œ) ^g(x); 



une de ces fonctions l(iv) étant choisie, désignons par ".(a:) une fonction 

 entière quelconque admetlanl la période m, et posons 



de telle façon que la fonction /(x) soit égale au quotient des nouvelles 

 fonctions entières $(a:) et W(x). En vertu des relations (i), (2) et (3), 

 on aura, en posant, pour abréger, 



les équations 



(4) ^(x hia):^<P(x), (I>(a;M- w') ■=e''WTi''''^"''"''''"<I>(^), 



et pour W les mêmes équations. Comme les fonctions <l>(x) et [/-(x) admet- 

 tent la période w, la seconde des équations (4) donne 



m désignant un entier. Cette dernière relation, écrite sous la forme 



v(a; + ut) , {X -r- ti) j ----- v(a-) -1 X, 



montre que la fonction entière 



y , 2 mÏTi: 

 ■^(x)-\ X 



admet la période w et peut, par conséquent, être développée, par la for- 

 mule de Fourier, en une série de la forme 



2/1(71 

 2/«ÎTt 





n = • 



procédant suivant les puissances positives et négatives de e " . La fonc- 

 tion entière iJ-(x), qui, jusqu'à présent, a été assujettie à la seule condi- 

 tion d'admettre la période w, est développable en une série de même 

 forme. I^a méthode des coefficients indéterminés montre immédiate- 



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