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méat (*) que l'on peut déterminer [j.(x) de telle façon que 



^{x + o) ) — ^{cc) --= v(d;) H ae — a^. 



» D'après ce choix de la fonction [j.(x), les relations (4) se simplifient, 

 et l'on arrive à cette conclusion, que la fonction doublement périodique 

 /(x) peut être mise sous la forme du quotient de deux fonctions entières 

 (p(x) et W(x), admettant l'une et l'autre la péiiode (o et vérifiant, en 

 outre, les relations 



2 mi 7C 



■ -*-no 



<î>(ir -f- co') :.-- e •" ^°^(x), W(x-:o>')-^:e " ^(x). 



» Ces fonctions 4> et W sont développables eu séries procédant suivant 



27C.r / 



les puissances positives et négatives de e "' ; ces séries devant être conver- 

 gentes, l'entier m est nécessairement positif quand le signe du rapport des 

 périodes est choisi comme d'habitude, et les fonctions 4' et W, calculées 

 par la méthode des coefficients indéterminés, conduisent, comme il est 

 bien connu, aux fonctions w. 



» On voit quel intérêt il y aurait à étendre ces considérations aux fonc- 

 tions quadruplement périodiques de deux Aariables. C'est ce qu'il semble 

 possible de faire, en s'ap|)uyant sur ce théorème de M. Poincarc : 



» Une /onction de deux variables, qui se comporte à distance ^nie comme 

 uiTie fraction rationnelle, peut être mise sous la forme du quotient de deux 

 fonctions entières ne s annulant simultanémenl qu'aux points où la fonction 

 est indéterminée (Acta mathematica, t. II). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales rationnelles des équations du 

 premier ordre. Note de M. P. Painlevé, présentée par M. Darboux. 



(i Bien des questions se ramènent à la recherche des intégrales ration- 

 nelles des équations différentielles. Étant donnée une équation différen- 

 tielle d'ordre quelconque, on peut toujours trouver les polynômes qui 

 vérifient cette équation, en déterminant une limite supérieure de leur 

 degré. Plus généralement, si l'on connaît le nombre de racines distinctes 



(') Voyez encore le Mémoire de M. Guicliard (Annales de l'École Normale, 1887, 

 p. 3-7 à 379), où se trouve une analyse toute semblable. 



