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de l'équation )'o = R(a7), pour une certaine valeur y„ tle y, par exemple, 

 le nombre des pôles distincts de R(ir) (ou une limite supérieure de ce 

 nombre), on peut calculer les intégrales rationnelles y — R(x). en déter- 

 minant une limite supérieure du degré des deux termes de R(a;). C'est ce 

 qui se présente dans le cas des équations linéaires, dans le cas des équa- 

 tions du premier ordre telles que, pour une certaine valeur j„ dej, toutes 

 les valeurs de r' soient nulles quel que soit ce (y^ n'étant pas un point cri- 

 tique de y'), etc. Mais ce sont là des conditions exceptionnelles. J'indi- 

 querai ici une méthode qui permet de résoudre sûrement la question pour les 

 équations différentielles de la forme 



oùV et Q sont deux polynômes en y et x. 

 » Si (xo, y,)) vérifient la relation 



(2) Q(-^o.ro)-o, 



x„ est un point critique de l'intégrale y qui prend, pour x^x„, la va- 

 leur yf,: à moins toutefois que (z'o, Vo) "^ satisfassent aussi à la rela- 

 tion P = o. 



1) D'après cela, la courbe 



(3) V R(^) 



ne peut rencontrer la courbe (2) qu'en des points qui lui soient communs 

 avec la courbe P — o. Pour éviter toute discussion relative aux points à 

 l'infini, admettons qu'on ait effectué respectivement sur x et y la transfor- 

 mation homographique à une variable la plus générale. Dans ces condi- 

 tions, P ^ o, Q = o n'ont de points communs qu'à distance finie: soit 

 (^o'7o) ii"^ ^^ ces points. On sait reconnaître si l'équation (i) admet des 

 intégrales holomorphes prenant pour a-^ la valeur^,, et déterminer, pour 

 ces intégrales, l'ordre de (y - y^) par rapport à {x x^). On en déduit 

 aussitôt l'onlie maximum de multiplicité du point (a?,,, y^) considéré 

 comme point de rencontre de (2) et de (3). En faisant ce calcul pour tous 

 les points tels que (a^„, Vo), on obtient une limite supérieure [j. du nombre 

 de points de rencontre (distincts ou confondus) des courbes (2) et (3). 

 Soient m le degré de Q, n celui des deux termes de R; la courbe (3) est 

 de degré (n -+- i) ; on a donc 



