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d'où l'on flcdiiit une limite de n. Les intégrales R(t) se calculent dès lors 

 algébriquement. I^a méthode n'est en défaut que si l'équation (i) est une 

 équation de Ricatti, pour laquelle la question peut se traiter directement. 

 » Considérons maintenant l'équation 



(4) /(/,j. •^)- o. 



irréductible par rapport à {y',y), dont le premier membre est un polynôme 

 en {y, y) et dépend algébriquement de x. 

 » Si y" est irrationnel en ,v, on peut l'écrire 



f^fn/iy • ■ ■ étant rationnels en v', v, .r, et a désignant une irrationnelle en. r 

 définie par une relation irréductible de degré ^. Toute intégrale rationnelle 

 de (i) doit vérifier les relations/, o./j o, ...; il en résulte que ces 

 intégrales s'obtiennent algébriquement. Si, au contraire, y est rationnel en 

 X, et de genre o par rapport à {y', y), on ramène par des opérations pure- 

 ment algébriques l'équation (4) à la forme (i), et on lui applique la mé- 

 thode. 



» La méthode s'étend encore aux équations 



( 5 ) y' ^r K{y,x)-. B (y, x) y'C (y, x) ; 



il suffit de raisonner sur la courbe C r o comme plus haut sur la courbe 

 (2). Le procédé est en défaut si la relation C = o définit des intégrales 

 singulières de (5). Dans ce cas, on résout encore la question, si A est nal, 

 en considérant les infinis àc y' . Plus généralement, s'il existe une courbe 

 H (jo>^o) - o> telle que, pour (a7„,r„), toutes les valeurs dey définies par 

 (4) soient infinies (ou mal déterminées), la méthode précédente s'a|)- 

 plique. Par exemple, elle fournit toutes les intégrales rationnelles des 

 équations 



(G) y^. F (.)'.. r), 



à moins toutefois que l'intégrale générale n'ait que des points critiques 

 fixes; dans ce cas, l'équation s'intégre algébriquement, ou se ramène soit 

 à une équation de Ricatti soit à une quadrature : 



(7) y = H'^)Ay - a){y - b){y ■ c){y - cl). 



» Cette équation est la seule équation de la forme (6) dont ou ne 

 puisse calculer algébriquement les intégrales rationnelles. » 



