( 5.4 ) 

 » On conclut de là 



logcp(n ) > log9(« -+- i) 

 et 



\os,o(n) < loeoin -f- 1) -, — ; — r; 



en d'autres termes, des deux fonctions 



9(«), 9(>i)e"^', 



la première est décroissante et la seconde croissante, lorsque l'entier n 

 croît. Si donc ou désigne par p un nombre entier positif quelconque, 

 on a les inégalités 



que l'on peut remplacer par l'égalité 



U) 



o{n-+-p) 



dans laquelle 9 désigne uu nombre compris entre o et i . 



» Il est bien aisé de déduire de cette relation la formule célèbre de Stir- 

 ling pour l'évaluation approchée du produit i.2.3...n lorsque n est un 

 grand nombre. 



» En effet, la relation ('2), appliquée au cas où « est égal à/?, montre 

 immédiatement que le rapport 



ç(2/>) 



a pour limite l'unité, lorsque/» croît indéfiniment. On a donc, pour p z= x. 



ou, d'après (i), 



Iim9(/.) = lim4^ 



' — 2 2/> 



2/»- 



I- / . ,. , /, 2 2 4 4 2/J — 2 



lim» Bj = hm i/4---.--^-4 '- 



et enfin, en vertu du théorème de Wallis, 



lim<p(^/>) = v/2^. 

 » Dès lors, si dans la formule (2) on laisse n fixe en faisant croître p 



