(62 ) 



en posant ici, pour abréger, Am= A 'j-j + 2 B , > -t- C -j-^ V Concevons 



qu'on intègre cette écpiation en n.,, en se donnant certaines conditions aux 

 limites, qui, nous le supposons, détei'uiinent complètement, dans les cir- 

 constances où l'on se place, une intégrale que nous désignerons par u.^. On 

 formera ensuite l'équation 



, n/ àiit du, \ 



et l'on intégrera cette équation en a.,, en satisfaisant aux mêmes conditions 

 aux limites que plus haut, et nous continuons ainsi indéfiniment. Si l'inté- 

 grale m„ tend vers une limite déterminée u, quand /i grandira indéfiniment, 

 on obtiendra ainsi l'intégrale u de l'équation (i) satisfaisant aux condi- 

 tions données. 



» Ces généralités ne sont intéressantes qu'autant qu'on précise les con- 

 ditions aux limites, et qu'on se place dans des conditions oîi l'on puisse 

 établir rigoureusement la convergence de u„ vers une limite m; c'est ce que 

 j'ai essayé de faire, et je vais résumer très succinctement les résultats aux- 

 quels je suis parvenu. Une distinction capitale est à faire, relativement au 

 signe de B" — AC; nous supposerons successivement les caractéristiques 

 imaginaires, puis réelles dans la partie du plan où restera le point (x, y). 



» 1 . Dans le premier cas, on peut, sans diminuer la généralité, se borner 

 à considérer l'équation 



, X à'' Il à- Il „/ au au \ 



^ -' ax- à Y- \ à.r ôy • J 



» Supposons d'abord que l'équation soit linéaire, c'est-à-dire que 



,, au , ou 



V =^ a-z \- b -^ + eu, 



ax ôy 



a, b, c étant des fonctions de ^r et y. Nous nous donnons ici, comme con- 

 dition aux limites, la valeur de l'intégrale le long d'un contour fermé C, et 

 nous supposons que l'intégrale reste continue ainsi que ses dérivées par- 

 tielles des deux premiers ordres à l'intérieur du contour. D'une manière 

 générale, u^ sera donnée par une équation de la forme 



. /•, s / , d-u d^ u \ 



fia-, y) étant une fonction connue. C'est une équation qu'on sait intégrer 



