( 63 ) 



quand on se donne la valeur de u„ le long du contour C. On peut partir, 

 pour fixer les idées, de u, = o. L'étude de m„ montre qu'elle converge vers 

 une limite, tant que C satisfait à certaines conditions, qui, en particulier, 

 seront remplies quand ce contour aura une aire suffisamment petite. Dans ce 

 cas, on obtiendra une intégrale de l'équation 



d^ u 0- Il Ou , du 



dx^ dy- à.i- df 



prenant des valeurs données sur le contour. Cette intégrale, comme nous 

 l'avons démontré autrefois, est d'ailleurs unique, quand le contour est 

 suffisamment petit. 



)) Si nous revenons à l'équation générale (2), nous arrivons à une con- 

 clusion analogue, pourvu que la fonction ¥(u,i>,n',j:-,y) satisfasse à la 

 condition suivante : u, v, (r restant respectivement entre deux limites 

 finies d'ailleurs quelconques, si l'on désigne par u,, v,, w, et u.,, Co, (v.. 

 deux systèmes de valeurs arbitraires de ces variables, on pourra, quels 

 que soient ^ eXy, trouver trois constantes positives L, M, N, telles que 



|F(H,,t',,(v,)— F(«,,t\,(v,)l<L|«, — u.,\ 4- M je, — v', | -4- N | (v, — w.,\. 



» Ainsi, dans une aire suffisamment petite, les approximations successives 

 conduiront à une intégrale de l'équation (1), prenant des valeurs données sur 

 le contour. 



» D'une manière générale, toutefois, on ne peut pas affirmer ici, comme 

 plus haut, que cette intégrale soit unique. 



» 2. Supposons maintenant les caractéristiques réelles. On pourra se 

 borner à l'équation 



()'-« ,1/ On Ou 



,~, 0-u ,,/ On 



(3) 57j^ = H"'^ 



= •^.7 



» Nous commençons encore par le cas oîx F est linéaire et de la forme 

 écrite plus haut. Considérons, dans le plan (Ox, Oj), un arc d'une courbe 

 quelconque C, pour lequel nous supposons seulement qu'une quelconque 

 des coordonnées soit fonction continue de l'autre, et variant toujours 

 dans le même sens; on intégrera les équations successives qui sont de la 

 forme 



/étant une fonction connue, par la condition que les dérivées partielles 



