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^ et ^^ prennent sur C une succession donnée de valeurs, ef que //„ 



prenne une valeur donnée en un point A de C. On partira de », r= o. 



n Soit B un second point de la courbe C; considérons le rectangle 

 parallèle aux axes, dont A et B sont deux sommets opposés. Si B est suffi- 

 samment rapproché de k, u„ tendra vers une limite //pour tous les |)oints 

 de ce rectangle, et l'on aura l'intégrale // de l'équation 



d^ u du , t)ii 



a .— -h fj -, ■+- (II, 



qui prend en A une valeur donnée, et pour laquelle et y- prennent sur 



l'arc AB une succession continue donnée de valeurs. On peut supposer que 



--— et -r-,' sur l'arc AB, sont représentées par des fonctions 9(r) et v(j')' 



qui ne sont assujetties qu'à la condition d'être continues. J'ajoute que//, 



-T— et -T- sont des fonctions continues de .r et y, même quand on traverse l'arc 

 O.v Oy • j I 



AB. Il y a là un point intéressant de la théorie des équations aux dérivées 



partielles, sur lequel il est bon d'insister. On doit remarquer en effet qu'il 



ne pourrait au contraire en être ainsi, en général, dans une région du 



plan où les caractéristiques sont imaginaires, comme le montre l'exemple 



simple de l'équation deLaplace. De plus, l'analyse précédente, considérée 



comme démonstration de l'existence de l'intégrale, ne suppose nullement 



que (7, b, c soient des fonctions analytiques de a? et y (') ; elle ne suppose 



pas non plus ([ue les conditions aux limites soient exprimées au moyen de 



fonctions analytiques. 



)> Si l'on revient à l'équation générale (3), les mêmes conclusions sub- 

 sistent sous la condition indiquée pour la fonction F. 



)) 3. Les théorèmes démontrés au n° I ne sont exacts que si le con- 

 tour C a une aire suffisamment petite. Il est très intéressant de trouver des 

 équations, où, sans restriction, une intégrale, supposée continue ainsi que 

 ses dérivées partielles, soit toujours déterminée par ses valeurs sur un 



( ' ) Dans le Gliaj)ilre si remarquable de ses Leçonx sur la Ihénrir des surfaces, con- 

 sacré à ce point fondamental (t. II, Cliap. IV), M. Darboux se seit seulenienl de 

 l'hypotlièse que a, b, c sont anal} tiques, pour établir Texistence d'une certaine fonc- 

 tion auxiliaire. D'ailleurs, en se plaçant à notre point de vue des approximations succes- 

 sives, on peut démontrer l'existence de cette fonction, sans faire l'hypothèse indiquée. 



