( 65 ) 



contour fermé quelconque. L'équation suivante nous en fournit un 

 exemple étendu. Soit l'équation 



//\ f)-u d-ii ,, s 



F étant une fonction de a, .r et y. N^ous supposons que la fonction F soit 

 bien déterminée et finie pour toute valeur réelle dcw, et pour toute valeur 

 de X et y dans la région du plan où restera le point (a-, y) ; de plus, elle 

 est posifk'e et croît toujours en même temps que u. 



)) Sous ces conditions, on démontre d'abord qu'il ne peut y avoir deux 

 intégrales de cette équation prenant sur un contour la même succession de va- 

 leurs. 



» Ceci posé, cherchons à obienir la solution prenant une succession 

 continue donnée de valeurs sur le contour C ; nous pouvons d'ailleurs 

 supposer, en faisant préalablement un changement bien simple de fonc- 

 tion, que ces valeurs données se réduisent à zéro. Que va nous donner la 

 méthode d'approximations successives? Elle ne résout pas, en général, le 

 problème, mais conduit à deux Jonctions u et f, s'annulant sur le contour et 

 satisfaisant aux équations 



Am = F(c, r, j), 

 Av = F(h, X, y). 



)> Pour que le problème posé fût résolu, il faudrait que « = r ; il n'eu 

 est pas ainsi quand le contour C est quelconque, mais cette identité est 

 vérifiée si le contour est suffisamment petit, et, dans ce cas, on a l'intégrale 

 de l'équation (4) s'annulant sur Ç. 



)) De ce cas particulier, on peut passer à un contour quelconque; il 

 suffira de montrer à cet effet que le problème, étant traité pour deux contours 

 ayant une partie commune, pourra être résolu pour le contour limitant exté- 

 rieurement l'ensemble des deux aires. Cette question a été traitée par 

 M. Schwarz pour l'équation de Laplace Au = o, et constitue un des points 

 les plus intéressants du beau travail de l'éminent géomètre sur le problème 

 de Dirichlet; le procédé alterné peut, avec des modifications convenables, 

 s'étendre ànotre équation générale (4), et, par suite, se trouve complètement 

 effectuée la recherche de l'intégrale, d'ailleurs unique, de l'équation 



Am = V{u,x,y) 



