( 66 ) 



prenant une succession continue donnée de valeurs sur un contour fermé quel- 

 conque. 



4. Parmi les équations rentrant dans le type précédent, arrêtons-nous 

 sur l'équation suivante qui présente un grand intérêt, tant en Géométrie 

 qu'en Analyse, 



OÙ X- désigne une constante positi\e : c'est l'équation de Liouville. 



') Il est intéressant d'approfondir l'étude des intégrales de cette équa- 

 tion. TiCS intégrales, considérées jusqu'ici, étaient continues à l'intérieur 

 de C ; je suppose maintenant qu'elles aient des points singuliers logarithmi- 

 ques. J'entends qu'un point (a, h) est, pour une intégrale u, un point 

 singulier logarithmique, si l'on a, dans le voisinage de ce point, 



u = m Iog|(a; — a)'- + (y -— h)'] -(- P(^, y), 



P étant une fonction continue de x et y; m désigne une constante. .Soient, 

 à l'intérieur de C, différents points (a, h), à chacun desquels est attaché un 

 coefficient m. Dans le cas où tous les ni sont supérieurs à — i , on pourra 

 déterminer l'intégrale de l'équation (5), prenant sur un contour quelconque C 

 des valeurs données et ayant à l'intérieur les points singuliers logarithmiques 

 (a, b) avec les coefficients donnés m. 



« Considérons ensuite une région du plan, comprenant le point à l'infini ; 

 soit la partie du plan extérieure à une courbe fermée C. Le point à l'infini 

 sera dit un point singulier logarithmique, avec le coefficient M, pour une 

 intégrale u, si, faisant la transformation 



iT -f- i V = 



on a, dans le voisinage de x' =. o, y' = o, 



M = — M log(j;'-'-l-y-) -h P(a-',j'), 



P étant continue. Dans le cas où M est inférieur à — i, on peut déterminer 

 l'intégrale de l'équation, prenant sur C des valeurs données et ayant à 

 l'infini un point singulier logarithmique avec le coefficient M. 



» Nous pouvons maintenant envisager l'ensemble du plan, et étudier les 

 intégrales uniformes de l'équation (.^)), continues, ainsi que leurs dérivées 

 partielles, pour tout point de plan, à l'exception d'un certain nombre de 



