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GÉOMÉTRIE. — Note sur itn point fonddmcittal de la llicuric des polyèdres : 



par M. DK Jo.VQLIÈRES. 



" I. La relation, devenue célèbre, qui existe entre les nombres II des 

 faces, S des sommets et A des arêtes d"un polvèdrc, fait l'objet de la pro- 

 position IV du JMcmoire présenté, en \'J^■l-^']S'^, par Euler à l'Académie 

 des Sciences de Pétersbourg, sous le titre de Elementa doclrinœ solidontm (' ). 

 En voici l'énoncé textuel, qui semble être peu connu : 



» § 33. In oiiini solido hedris planis incluso, agjiregaluni c\ iiiiiiu;rii aii;;iiloiinn cl 

 ex numéro heflianim hinnrio c\cedil niiraerimi acicruni, scilicet 



S H- Il - \ + :'.. 



» Euler ajoute immédiatement : 



» Faleri cqiiidein cogor me luijiis iheoreinalis demonslralioiieni (Irniatn adJiiK- 

 ei'iiere non poluisse; intérim tamen ejus verilas pro omnilms solidoium generibus, ad 

 (|ua' examinabitur, non dinicnher agnf)scelnr, ila ut -ieiiuens indiietio vieeui (Iciiioii- 

 strationis gorere (|ueal. 



» Euler, bien qu'il ne possédât pas une démonstration ferme du théo- 

 rème, et qu'il ne soit revenu sur ce sujet dans aiirun de ses écrits ultérieurs, 

 ne doutait donc point de son exactitude pour les solides dr ions ^r/tres 

 compris entre des faces planes. Il en donne plusieurs exemples particu- 

 liers, aux pages rig et suivantes du Mémoire précité, et conclut, en ce 

 qui concerne cette proposition IV, par ces mots : 



» Ctini igitiif \eritas propositionis in bis omnilms easibus sibi constel, dubium est 

 millum, quin ex in omnibus omnino solidis iocum liabcat, sicque j)i-oposilio suffi- 

 cienler videtnr demonstrala (p. 19.4). 



» En résumé, Euler aflirmait la vérité de son théorème /;oMr^ow5 les po- 

 lyèdres sans exception, lui donnant ainsi une généralité qui n'a pas été et 

 ne pouvait être dépassée. D'oi!i vient donc qu'on l'a presque toujours inler- 



(') Ce Mémoire csl inséré au tome IV des Aoi'i Comnicnlarii icar/emiœ Scicnlia- 

 riim Imperialix Pelropolilaïuc, ad annum \-]o?,-\~7)?>. l'eiropoli, l.vpis Academia^ 

 Scienliaruni. 17J8, p. 109. C'est sans doute la date de l'impression de ce recueil <|ui \\ 

 fait dire à (jaucby qu'Iôulor avait fait connailro te tliéoréine dont il s'agit en i-ÔS seu- 

 lement. 



