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prêté dans un si-iis restreint? C'est là surtout le poinl de doctrine et 

 d'histoire que je me propose d'éclaircir dans la présente Note. 



» IL La première tentative de démonslration qu'on en ait faite paraît 

 être celle de Legendre dans la Note XII de son Traité de Géométrie. Elle est 

 malheureusement incomplète, et comme sou principe même s'oppose à ce 

 qu'elle reçoive l'extension que rendrait nécessaire sou application à 

 l'énoncé complet d'Euler, elle écarte irrémédiablement du bénéfice de 

 cette relation si simple tous ceux des polyèdres non convexes dans l'inté- 

 rieur desquels on ne peut trouver un point qui soit le centre d'une sphère 

 telle que, les faces du solide y étant projetées par des lignes menées au 

 centre, il n'y ait sur la surface de la sphère aucune duplicature ou recou- 

 vrement, ni lacune, de ces projections; c'est-à-dire qu'elle écarte d'emblée 

 le plus grand nombre d'entre eux, et, par conséquent, ne présente (impli- 

 citementj la proposition comme certaine que pour les seuls polyèdres 

 convexes (les seuls d'ailleurs dont s'occupent systématiquement les Traités 

 élémentaires, tels qu'était le sien). Passant dans l'enseignement avec la 

 haute autorité du nom qui s'y attachait, elle v fit naître et se développer ce 

 préjugé, à tel point que les meilleurs esprits ne s'y purent soustraire et que 

 Poinsot, qui y avait cédé lui-même, crut nécessaire, bien des années après, 

 en i858, d'inséi'er l'avertissement suivant dans un de ses Mémoires: 

 « Cette relation, qu'Euler a démontrée le premier, n'a pas lieu seulement 

 » pour les polyèdres convexes, comme on parait le croire, mais pour les 

 » polyèdres d'une espèce quelconque ('). » Cauchy, qui en avait, le pre- 

 mier, publié en 1811 une démonstration complète et sans restriction 

 (puisque Euler, candide et modeste comme toujours, avouait n'en avoir eu 

 qu'une très forte induction), disait, de son côté : «... je suis parvenu à un 

 « théorème plus général que celui d'Euler f") » ; mais en somme, comme il 

 est aisé de s'en assurer, sans rien ajouter à la généralité de l'énoncé 

 d'Euler, qui était et ne sembla pas cesser d'être méconnue autour de lui, 

 par la cause expliquée plus haut. 



» Après cette démonstration de Cauchy, il était absolument hors de 



(') Comptes rendus de V Académie des Sciences, l. XLVI (i858), J\oie sur les po- 

 lyèdres, § 9, à la (in. Dans ceUe Note, Poinsot démontre, à son tour, la vérité de 

 l'énoncé complet d'Euler, en empruntant au Mémoire de Caucliy (1811) l'élémenl 

 principal de son argumentation. 



(^) Recherches sur les polyèdres, jiar M. (^ainliy, ingénieur '.ies Ponts el Clians- 

 iécA {Journal de l'Ecole Polytechnique, t. IV ( tSi i), 3'' partie, p. 7I) el --). 



