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doute que l'élégante relation S h- H = A -i- :• convient aux polyèdres de 

 tous les genres, ainsi qu'Euler l'avait affirmé en 17J2, et toute indécision 

 aurait dû disparaître dès 181 1. Toutefois, ])our la rigueur absolue des 

 termes, il y a lieu d'v signaler deux exce[)tions générales, en admettant 

 qu'on puisse conserver le nom de polyèdres aux solides singuliers qui y 

 donnent lieu. Il faut, pour le montrer, repi-endre la question d'un peu plus 

 haut. 



M III. Lemme I. — Un polyèdre, quelconque étant donne, on peut arriver à le 

 dètndre complètement par l'ablation de tétraèdres détachés un à un et succes- 

 sivement de r extérieur du solide. 



» La démonstration est facile, et je ne m'y attarde pas. On peut d'ailleurs 

 consulter à ce propos le Mémoire précité de Cauchy, pages 82 et Si. 



M Lkmme II. — Un polyèdre quelconque étant donné, lorsqu'on en détache 

 un tétraèdre (de la façon indiquée au lemme I), la différence (S -I- II) — A, 

 qui existait dans le solide initial, se conserve la même dans le polyèdre restant. 



» Deux cas peuvent seuls se présenter : 1" le solide restant a deux faces 

 et un sommet de moins que le polyèdre primitif; 2" il a en moins une face 

 et un sommet. 



» Dans le premier cas (où aucune des faces du tétraèdre qu'on enlève 

 n'est le prolongement de l'une des faces adjacentes du solide restant), le po- 

 lyèdre yoer^/ trois arêtes. Dans le second cas (oîi l'unedes faces du tétraèdre 

 supprimé fait le prolongement d'une face adjacente restante), le polyèdre 

 perd deux arêtes. 



» Dans l'un et l'autre cas, la différence ( S-t- H) — A ne change donc pas. 



» Remarque. — On arriverait à la même conclusion, si l'on procédait à 

 la dislocation du polyèdre, en lui enlevant successivement des tétraèdres 

 ayant pour sommet commun (sauf à changer ce sommet quand il serait né- 

 cessaire) un point pris dans l'intérieur du solide. Mais l'antre mode de 

 désagrégation, plus uniforme, convient mieux encore pour la démonstration 

 qui va suivre. 



» Théorème. — Dans un polyèdre quelconque, convexe ou non convexe, on 

 a la relation (S + H) — A = 2 (Euler). 



» En effet, on peut (lemme I) détruire le polyèdre et le réduire à un 

 unique et dernier tétraèdre, sans que la différence (S -1- H)— A soit jamais 

 altérée par ces dislocations successives (lemme II). Or cette différence est 



