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 égale à 2 clans ce dernier télraèdre, puisqu'il a quatre faces, quatre som- 

 mets et six arêtes. Donc elle est aussi égale à 2 dans le polyèdre donné. 



C.Q.F.D. 



o) IV. Cette démonstration, d'ailleurs fort simple, n'ajouterait rien à ce 

 qu'on sait déjà par les auteurs précités, si elle u'était particulièrement propre 

 à mettre en lumière les deux et seuls cas d'exception qui viennent d'être 

 annoncés. Elle montre effectivement que la vérité de la proposition d'Euler 

 tient à ce que, chaque fois qu'un tétraèdre est (pour la démonstration) 

 détaché du pourtour du solide donné, celui-ci, en compensation des trois 

 faces (ou, selon le cas, des deux faces) dont cette ablation le prive, acquiert, 

 comme face nouvelle, celle par le contact de laquelle le tétraèdre était 

 juxtaposé, ou, pour mieux dire, soudé au solide primitif; d'où résulte 

 (comme on l'a vu) cette conséquence qu'il y a sans cesse égalité entre la 

 somme des nombres des faces et des sommets et le nombre des arêtes 

 que le solide perd en définitive chaque fois. Or cette égalité, qui main- 

 tient jusqu'au bout, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul 

 tétraèdre, l'invariabilité de la difïérence (S -h H) — A, cesserait d'exister, 

 comme il est aisé de le voir, si le tétraèdre qu'on enlève, au lieu d'être 

 soudé au solide par une face, n'était en contact avec lui que par une arête, 

 ou, moins intimement encore, par un sommet comme le sont, par exemple, 

 deux pyramides symétriques ayant leur sommet commun et regardées 

 comme ne formant ensemble qu'un seul polyèdre. 



» Il faut donc, en énonçant le théorème dans toute sa généralité, ainsi 

 que l'a fait Euler, et après lui Cauchy, ajouter cette restriction que le 

 polyèdre, agrégat d'autant de tétraèdres ou de polyèdres qu'on voudra, 

 et disposés aussi à volonté, ne se compose que de polyèdres, ou tétraèdres, 

 soudés l'un à l'autre par une de leurs faces (partielle ou totale), et non pas 

 seulement par une de leurs arêtes ou un de leurs sommets. 



» Quant à l'application de la formule, il faut avoir soin de compter 

 comme une arête distincte, lors même que plusieurs, contiguês ou non, 

 seraient dans le prolongement l'une de l'autre, chaque droite joignant un 

 sommet à l'un (au moins) des sommets voisins, de façon à ne laisser inter- 

 rompue nulle part la chaîne qui unit les sommets entre eux, et, du même 

 coup, de compter comme face distincte toute portion de plan limitée par 

 des arêtes distinctes, lors même que plusieurs faces ainsi définies se trou- 

 veraient dans un même plan. Pour en donner un exemple simple, n'exi- 

 geant pas le tracé d'une figure, supposons que le polyèdre se compose 

 d'une pyramide Sa6«/e, soudée par sa base pentagonale abcde sur la face 



