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supérieure ARCD d'im cuhc, donl les :irêtcs AB, I5C, CD, 1) A enferment 

 ce pentagone sans le toiieher. On devra ji)lndre les sommets du penta- 

 gone aux sommets A, B, C, D du cube par des arêtes telles que A«, Ae, 

 hb. Ce, Dd et, par suite, regarder comme étant des faces le triangle \ae 

 et les quadrilatères Aahb, B hCc, etc., comme si ces faces étaient réellement 

 distinctes et inclinées et réunissaient les faces latérales du cube à la base 

 d'une pyramide placée un peu au-dessus de la face supérieure de ce cube. 

 Il importe peu d'ailleurs qu'en traçant ces arêtes on en attribue au polyèdre 

 plus qu'il ne serait strictement nécessaire; car l'exactitude de la formule 

 d'Euler ne serait nullement troublée par cette adjonction superflue. 



» On agirait de même, si la pyramide (dans l'exemple précédent), au 

 lieu d'être posée sur le cube et de s'y montrer en saillie, y formait au con- 

 traire une excavation, le sommet S étant pris dans l'intérieur de celui-ci. 



M V. La relation d'Euler, ainsi établie sur des démonstrations rigou- 

 reuses, dans les termes mêmesdont s'était servi ce grand homme, s'applique 

 donc (on ne saurait, encore aujourd'hui, trop le redire) à tous les po- 

 lyèdres, convexes ou non convexes, de toutes les espèces, en particulier 

 aux polyèdres réguliers Jw/>eWeM/ï, dont Poinsot publia, eu i8o(), l'impor- 

 tante et curieuse découverte. A cette époque où l'interprétation doniinaule 

 n'était pas favorable à l'énoncé d'Euler, dans lequel on n'avait vu qu'une 

 induction non justifiée dans toutes ses parties (puisque Cauchy n'en devait 

 donner la confirmation que deux ans plus tard j, il était naturel qu'on cher- 

 chât, à défaut de celle d'Euler, « quelle était la formule qui pouvait ré- 

 pondre à ces nouveaux solides » (Journal de l'Ecole Potyteclinique, t. IV, 

 p. 4^)' C'est ce que fit Poinsot, en se maintenant dans le cercle d'idées 

 tracé par la démonstration de Legendre, et il donna l'équation générale 



e,S+H = A + 2E, 



qui s'applique aux quatre polyèdres réguliers supérieurs, et a, du reste, été 

 complétée depuis par l'addition d'un coefficient; il ajoutait (p. 48) : « Si 

 » l'on veut considérer les solides ordinaires, il faut faire e =: E =; i ; ce qui 

 » donne l'équation d'Euler»; ainsi réduil(\ ou plutôt déchue, à n'être 

 plus qu'un cas particulier. 



» L'illustre géomètre avait un autre motif pour envisager ainsi la ques- 

 tion. Pour lui, les/aces d'un ])olyèdre étaient alors « les plans qui, en plus 

 » petit nombre, achèvent comj)lètemcnt le polyèdre. Un même polyèdie 

 » peut paraître également construit sous tels et tels polygones, par exemple 

 » sous soixante triangles distincts inclinés l'un sur l'autre, tandis que, vu 



