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 formules 



■5 1 -: -!| >=' 



(5) }y, = y-t- 



(=,=:: +!;,r, — r,,ç. 



» En différentiaiit les formules ( "> ) |)ar rapport à u et c. on a 



(<3) 



» Les expressions entre crochets sont nulles à cause des relations (4). 

 Les formules (6) montrent alors : i" que la surface F,, décrite par le 

 point M,, est normale en ce point à la droite qui a pour composantes ;,, 

 r,,, Cl : 2° que les courbes de paramètre u et <• sont les lignes asymptotiques 

 de F,. 



» Enfin, les formules ( 5) montrent que la droite MM, est tangente aux 

 deux surfaces F et F,. Cette droite engendre une congruence, telle que les 

 lignes asymptotiques se correspondent sur les deux surfaces focales. La 

 réciproque est exacte et se démontre yaci'/ew^/?/. •> 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur /'intégration d'une équation aux dérivées 

 partielles. Note de M. Zaremba, présentée par M. Darboux. 



« Je me propose de faire voir, dans cette Note, que la détermination de 

 l'intégration générale d'une équation aux dérivées partielles de la forme 



«p, etçj étant deux fonctions quelconques de x-rV, peut être ramenée à 

 l'intégration d'une équation différentielle ordinaire linéaire du second 

 ordre et à des quadratures. J'appliquerai ensuite les résultats obtenus à un 

 problème élégant indiqué par M. Darboux, au cours de l'une de ses Leçons 

 professées à la Sorbonne. 



)) Regardons a; et j comme les coordonnées rectangulaires d'un point, 

 et soit (C) une courbe en chaque point de laquelle la valeur de : et celle 

 de l'une de ses dérivées premières sont données; désignons, en outre, par 

 u{x,y, ^0, Yu) une fonction convenablement déterminée de a, y, ^o et/„. 



