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 mais indépendiuite ilii choix de la courbe (C) et des valeurs de = et de ses 

 dérivées sur celte courbe; nous aurons alors, pour la valeur de ; en un 

 point quelconque, cc^, y^, l'expression suivante, due à Rieinann {M'erke, 

 p. i6i), et que j'écris sous la forme qui lui a été donnée par M. Darboux 

 (Courî de Géométrie, t. Il, p. 78) : 



(■2) 





1: 



1 / f)- àu\l, 



2\ Oy dyjj - 



où l'intégration doit être effectuée suivant la portion de la courbe (C), in- 

 terceptée par les droites u---Xf, et )'^= v„. Introduisons dans cette formide 

 de nouvelles variables, définies par les équations 



2W=l-^r„ lY — l — r,; 2,r„ =?„-+• r,„, 2>'„ = ^„ — ■/!„ ; 



réduisons la courbe {C) à la droite l = const., et substituons-y l'intégrale 

 particulière de l'équation (i) 



= = [.}, (,E„)6,(;) - ■1/,^;,,) i, (;)1 COSa(r,„ - r,), 



les lettres E, •/] et ii désignant ici des constantes, et •}, , 6., un système de so- 

 lutions fondamentales de l'équation différentielle 



f + -irf, (^)f + |(p,(E) H- ...= J^ = O. 



Il viendra 



[A.(E„)^.('0-^.('^o)'l'.(e)Jcos.a(r,„-r,) 



= ô / "K'A.^;']'.(0-'^'JO^.(^)|coS[j.(r,„--o)rfYl„; 



d'où, en vertu du théorème de Fotnier et en su|)posant compris entre r,„ 

 et •/],:, 



^^) "--^./ -^()JM" VJ^)U^) «"''[-( •^"-•^)^- 



» Cette expression a déjà été citée par Rieniann (VVerke, p. 162), à l'oc- 

 casion d'une équation qui se déduit de l'équation ( ] ) en v posant 0.^= o; 

 mais l'illustre géomètre n'en connnuniquc point la démonstration, eu né- 

 gligeant même de faire observer que la région de validité de la formule (3^ 



