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esl détenninée |)ar la condition (a- — .r„ )(y — Vo ) !>o, l'intégrale devant 

 être prise avec le signe commun de ce — ,r„ et de r — r,,. 



» Malgré cette restriction, on peut substituer dans la formule ( 2) la va- 

 lem- (3) de u et arriver de la sorte à une expression de l'intégrale générale 

 de l'équation (i), pourvu que la courbe ( C) intercej)te sur les axes des seg- 

 ments de même signe. On sait, en effet, d'ailleurs que la courbe (C) ne doit 

 avoir qu'un seul point d'intersection avec toute droite parallèle à l'un des 

 axes; par conséquent, la courbe (C) étant disposée par rapport aux axes, 

 comme il vient d'èlre dit, il suffira de connaître les valeurs de u dans la 

 région de validité de l'expression (3). 



» Je passe maintenant au problème indiqué par M. Darboux, en me pro- 

 posant de réduire l'élément linéaire tracé siu" une surface développable à 

 la forme 



(h^ = a du- H — (h-, 



a 



a. étant une fonction de u et de c. Cette forme de l'élément linéaire permet 

 de réaliser une représentation de la développable, telle qu'a«x rectangles 

 du plan dont les côtés sont parallèles à deux droites Jixes correspondent sur la 

 surface des rectangles de même aire. Le problème proposé se ramène aisé- 

 ment à l'intégration de l'équation différentielle 



(oë[(S"~(S)1-4Ê 



âz Oz ô-z (Pz 



■r dy djc dr dy'^ 



Jr) ~ là? 



= o. 



» Cette équation, rendue linéaire par la transformation de Legendre, 

 peut ensuite être ramenée à la forme très simple qui rentre dans le type (i) : 



^ ^ or ds or as 



» On trouve, en appliquant la formule (3 j, que la fonction u est ici une 

 fonction transcendante entière, pouvant être représentée par la série 



■>T' 



(«')M" 



. l'ar conséquent, l'intégrale générale de l'équation ( t ) peut être expri- 

 mée au moyen de la formule (2), et l'équation (\) doit être considérée 

 comme intégrée. <i 



