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)i Anlanl que je sache, toulcs les fonctions qui n'exislenl que dans un 

 certain domaine du plan et qui ont été étudiées jusqu'ici cessent d'exister, 

 parce que les fonctions elles-mêmes ou leurs dérivées deviennent discon- 

 tinues sur la frontière. M. Fredholm a trouvé, dans un des champs les 

 plus connus de l'Analyse, une fonction qui est continue, ainsi que toutes 

 ses dérivées, sur toute la frontière qui limite le domaine d'existence de la 

 fonction. 



1) Ecrivez la fonction h sous la forme 



ft mettez 



■,(t,:)r-.^e''-'-''\ 



Si la partie réelle de 'j est négative, la (onclion est une fonction uniforme 

 de t pour toutes les valeurs de t, dont la partie réelle soit négative. La 

 fonction, ainsi que toutes ses dérivées, sont des fonctions continues de ^ sur 

 l'axe imaginaire. Mais cet axe imaginaire forme la limite du domaine d'exis- 

 tence de la fonction. Pour voir cela, vous n'avez qu'à faire l'observation 

 que la fonction (p(<, 'j) satisfait à l'égalité 



et de mettre 





9(/,u) -^p{t — /„) 





dtj,=,„ i! ■ \dt-J,=,^ 2! 





■) ' 



où /„ est un point sur l'axe imaginaire. 



)) D'après le théorème connu de M""^ Kowalcvski la série /;(/ — /„) ne 

 peut être convergente, à moins que o(/„'j) soit une fonction entière ration- 

 nelle ou transcendante de j. Cela n'a pas lieu et la fonction o(t,'j) regardée 

 comme fonction de / n'existe donc pas quand v est une constante dont la 

 partie réelle ne soit négative que pour le domaine : partie réelle de t < o. 



» En mettant 



e'=^ X, (i^ ~ a, I rt I <[ I , 



