» Quand on effectue le changement de fonction r= — — ?' où a. S, 

 y, S sont des fonctions quelconques de x-, l'équation (1) ne conserve pas sa 



forme primitive, à moins que l'on ne prenne pour - une solution particu- 



i 



lière u de l'équation. On fait alors correspondre à l'équation (i) une autre 

 équation de même forme, telle que l'intégration de l'une entraîne celle de 

 l'autre. Les deux invariants de l'équation transformée ne dépendent pas 

 des deux fonctions arbitraires qui entrent avec u dans la substitution. Ils 

 ont pour valeur 



/,x r 3H-h/ -H'" H -kI't,"- 



(4) !,--■=- --r—« , H,=---«e 



)) Un cas simple d'inlégrabilité t^st celui où J est de la forme k\, /étant 

 une constante. On réalise ce cas, en su])posant que dans l'écjualion (2) le 



/H\' , , • . 



rapport de f y j à 1 est égal à k. Ecrivant cette condition pour les inva- 

 riants I| et II, donnés par les formules (4), on trouve que l-'on saura inté- 

 grer l'équation aux invariants I et II, si l'une de ses solutions particulières u 

 satisfait à l'équation 



(Iir - m ; lâ - 2HP«^ + 6I1 = I« - 6H» =/t(3H- I«)-'. 



» On simplifie ce caractère d'intégrabilité en l'appliquant à la forme 

 canonique ('3). On trouve ainsi des équations pour lesquelles 



Cette valeur de J appartient à des équations de Jacobi, comme on le con- 

 state en réduisant une équation de Jacobi à la forme canonique. 



» L'hypothèse /• =- o qui répond au cas d'intégrabilité plus particulier 



-p = const., réduit la valeur de J à celle-ci 



M 



4- '— £ X, 



9 V/X 3 9 



