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pour abaiidoniier par fragmentation, par effritement, une partie de sa 

 substance qui très probablement est utilisée par l'orsfanisme. J'ai institue, 

 pour contrôler cette hypothèse, des expériences dont je ferai plus tard 

 l'objet d'une nouvelle Communication. » 



GÉOMÉTRIE. — i\ote sur le théorème d'Euler dans la théorie des polyèdres ; 



par M. DE «ÎO.VQUIÈRES. 



" I. Dans l'étude de cette question il convient, après avoir invoqué 

 les hautes autorités de Cauchy, de Poinsot et de M. Camille Jordan ('), 

 d'examiner les objections présentées par J_,huilier, dans un travail connu 

 par l'analyse très détaillée qu'en a faite Gergonne au tome III des Annales 

 de Mathématiques pour 1812 et r8i3, pages 169 à 191. 



» Ce géomètre estimé, après avoir donné du théorème d'Euler une 

 démonstration générale, qui lui est propre (-), consacre la seconde Partie 



(') fieclierches sur les polyèdres, par Camille Jordan [Journal de Crelle-Bor- 

 chardt, t. 66, année 1866, p. 22). Cet important et profond Mémoire, dont la seconde 

 Partie est insérée au tome 68 du même Recueil, a pour objet la détermination des 

 conditions de similitude des aspects directs ou rétrogrades, d'un même polyèdre. Le 

 savant auteur v donne (p. 38) une démonstration simple et générale du théorème 

 d'Euler, fondée sur des considérations nouvelles, et la fait suivre de cette remarque : 

 « Ce tliéorème est caractéristique des polyèdres simples ou eulériens (comme il les 

 ); nomme), cest-à-dire (p. 35) tels que tout contour fermé tracé sur leur surface et 

 )) ne se traversant pas lui-même divise cette surface en deux régions séparées; caté- 

 » gorie qui enferme comme cas particulier les polyèdres convexes. » Puis il ajoute 

 (p. 38) : « 11 serait aisé de démontrer que si Ion peut tracer sur un polyèdre X con- 

 » tours différents, ne se coupant pas mutellement et ne divisant pas la surface en par- 

 » ties séparées, on aura S + IP^— A -t- 3 — 2).. » Enfin M. Jordan donne plus loin 

 ( p. 86) cette autre définition des j)olyèdres simples : « Une surface sera dite d'espèce 

 n {m, n) si elle est limitée par m contours fermés et si l'on peut, d'autre part, y tracer 

 i> n contours fermés ne se coupant pas eux-mêmes ni mutuellement, sans la partager 

 1) eu deux régions distinctes, etc. En posant 7?i =; o et faisant varier n, on aura les 

 » diverses espèces de polyèdres fermés. Les polyèdres de l'espèce (o, o) ne sont 

 » autres que ceux que j'ai appelés précédemment 5(/n/)/e5 ou eulériens. » C'est là sans 

 doute que se trouve le dernier mot do la question. 



(') Gergonne dit à ce sujet : t Quelque simple que soit cette démonstration, on lui 

 préférera peut-être encore, avec raison, la belle démonstration de M. Cauchy, qui a le 

 précieux avantage de ne supposer nullement que le polyèdre soit convexe. » {Lac. cit.. 

 P- '79-) 



