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du Mémoire à la cliscussion des exceptions (jne, selon lui, soulTre celle 

 proposition. Il dit dans son Introduction : 



» Je me propose principaleinenl de iiioiilrL-r (|uecc tliéorùiue soullVe des exceplioDs 

 nombreuses, et qu'il n'est vrai, d'une niauière générale, ([ue pour les polyèdres qui 

 n'ont point de parties rentrantes..., ceux, qu'on a coulutue de ronsidérer principale- 

 ment dans les éléments A moins donc qu'on n'avertisse (ainsi que le fait Legendre) 



qu'on s'occupe exclusivement des polvèdres convexes, on s'expose à donner comme 

 générales des conclusions qui ne sont applicables (juau point de vue particulier sous 

 lequel on a envisagé le sujet. {Loc. cit.. |). 171.) 



1) II. Les cas d'exception proposés par Lhiiilicr sont au nombre de 

 trois; ils diffèrent d'ailleurs des deux que j'ai fait connaître dans ma Com- 

 munication du -20 janvier dernier (Comptes rendus, t. C\, )>. iio). Les 

 voici dans l'ordre où il les présente, avec la réponse que chacun d'eux me 

 parait comporter : 



» i" La première sorte il'exceptioii a lieu lur>que le polyèdre lenlerme une cavité 

 intérieure, c'est-à-dire lorsqu'il est compris entre deux surfaces isolées et entièrement 

 renfermées l'une dans l'autre; .... Dans un tel polyèdre, on a S-4-H = A-i-4- 

 S'il y a « cavités intérieures, on a S H- H rrr A -f- 2(rt + 1). {Loc. cit., p. i84-) 



» .A cette assertion, exacte en elle-même, on doit répondre {[u'un tel .lys- 

 terne n'est pas proprement un polyèdre, mais bien l'ensemble de deiuv, ou 

 de plusieurs polyèdres distincts, l'un plein, les autres vides, indépendants 

 l'un de l'autre, n'avant pas même en commun un |)oint ou une droite. Un 

 polyèdre, du moins au point de vue classique, ne mérite ce nom que si, 

 avant tout, un point peut se mouvoir avec continuité sur sa surface; ce qui 

 n'est pas ici le cas. 



» Celte première exception peut donc être écartée, comme concernant 

 un solide singulier, étranger à la catégorie des polyèdi'es ordinaires ou 

 simples. 



)) 2° La seconde sorte d"exce[)lion a lieu li)r-.([uc le pi)l\èdrc est annulaire, c'est- 

 à-dire lorsqu'étant d'ailleurs compris sous une surface uni((ue, il a une ouverture qui le 

 traverse de part en part {loc. cil., p. i85) ; .... Dans un tel polyèdre, on a S H- H rr: A. 

 S'il y a « ouvertures pareilles, la formule est S -h H := A — 2{n — i). {Ibid., p. 186.) 



» Le corps polyétlrique ilont il s'agit ici n'est point non plus un véri- 

 table polyèdre dans l'acception ordinaire du mot; car, si, par un point 

 pris arbitrairement à l'intérieur de l'un des tunnels qui traversent le solide 

 de part en part, on mène un plan quelconque, la section du solide par ce 

 plan se composera toujours d'au moins deux polygones distincts, complè- 



