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 tement isolés l'un de l'autre; ce qui peut bien arriver clans un polyèdre 

 ordinaire pour certaines positions du plan sécant, mais non pas ^ouv toutes. 



M Donc, ici encore, la conclusion, juste en elle-même, s'applique à un 

 solide qu'on peut écarter par le même motif que ci-dessus. 



» III. Reste la troisième objection qui est, aux yeux de Lhuilier et de 

 Gergonne, la plus grave des trois, et qui porterait une sérieuse atteinte à 

 la généralité de l'énoncé d'Euler, si elle était fondée; je vais prouver 

 qu'elle ne l'est pas. 



» En ce qui la concerne, Gergonne s'exprime ainsi : 



» J'avais depuis longtemps remarqué ces deux premières sortes d'exceptions; mais 

 M. Lhuilier est, je crois, le premier qui ait fait attention à la troisième ; et elle devait 

 d'autant plus facilement échapper à l'observation des géomètres, que les polvédres 

 auxquels elle est relati\e ne paraissent pas diflerer essentiellement de ceux que l'on 

 est dans l'usage de considérer. Elle a lieu ... lorsque le polyèdre résulte de l'union 

 de deux autres polyèdres, par deux faces inégales, dont la plus petite se trouve entiè- 

 rement comprise dans la plus grande {loc. cit., p. i86), ou de la répétition du même 

 fait dans le polvèdre ; « . . . Dans un tel polvèdre, on a S -I- H ;= A. -f- 2 + «, n étant 

 » le nombre des polygones, extérieurs les uns aux autres, mais tous ensemble inté- 

 » rieurs à celui qui joue le rôle de face enveloppante. » (Ibid., p. i8j.) 



» D'après cette conclusion, la somme S + H pourrait, selon le cas, 

 excéder A + 2 d'un nombre n quelconque; ce qui ferait une brèche con- 

 sidérable à l'énoncé d'Euler. 



» J'ai déjà, dans ma Note précitée, indiqué la manière de raisonner en 

 pareil cas, en fournissant un exemple confirmatif. Il faut prouver ici, d'une 

 façon générale, que la formule d'Euler s'applique à deux polyèdres soudés 

 l'un à l'autre dans les conditions de l'énoncé, et, par suite, à autant de 

 polyèdres qu'on voudra, unis ensemble de la même manière. 



» Or la formule étant vraie pour chacun des deux polyèdres, considérés 

 isolément, on aurait dans le système qu'ils forment ensemble, en les y 

 supposant d'abord indépendants, S -f- H = A -+- 4- H suffit donc de prouver 

 que le fait de leur union intime, ou soudure, diminue de deux unités la 

 différence (S -i- H) — A, et la réduit ainsi à 2. En effet, si l'on joint par des 

 droites tous les sommets du polygone intérieur p (face de l'un 7: des deux 

 polyèdres) aux sommet? du polygone enveloppant P (face de l'autre po- 

 lyèdre n), de telle sorte que la surface annulaire comprise entre ^ et P se 

 trouve divisée en t triangles ; puis, si l'on considère ces droites comme étant 

 des arêtes (supplémentaires) du polyèdre II, et ces triangles comme étant 

 des faces (supplémentaires) de ce même polyèdre, on se trouvera avoir 



