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 remplacé la face unique P de celui-ci par l'ensemble du polygone/? et des 

 / triangles. D'autre part, le nombre des arêtes additionnelles est évidem- 

 ment égal à l, tandis que le nombre des sommets n'a pas varié. Enfin la 

 face/>, considérée comme appartenant à H, disparaît par le fait de sa sou- 

 dure avec cette même face, regardée comme appartenant à -, et fait 

 disparaître celle-ci du même coup. Donc, en définitive, H est devenu 

 (H - 2)-l-/ = H' et A est devenu A'= A -i- /: d'où S -i-H'= A'-f- 2. 



C. Q. F. D. 



» Ainsi l'objection de Idiuilier, adoptée par Gergonne, tombe d'elle- 

 même. 



» Un raisonnement analogue s'applique d'ailleurs au cas où le po- 

 lyèdre -, au lieu de constituer un accroissement ou relief pour le po- 

 lyèdre n, formerait une excavation dans re dernier, poiu'vu qu'elle ne le 

 traversât point de part en part, circonstance écartée ci-dessus (II, 2"), et 

 par suite aussi au cas où il y aurait dans le polyèdre FI plusieurs excava- 

 tions pareilles. 



» IV. En résumé, l'énoncé d'Euler convient à tous les polyèdres, con- 

 vexes ou non convexes, ceux-ci étant constitués soit par l'agrégation, face 

 contre face (partielle ou non), de |)olyèdres convexes, soit par leur désa- 

 grégation soumise aux mêmes conditions, et il n'est en défaut que pour 

 les polyèdres formés par la simple adhérence de polyèdres convexes soudés 

 arête contre arête (partielle ou non), ou sommet contre sommet, ou bien 

 pour ceux qui possèdent des chambres intérieures entièrement closes, ou 

 encore des excavations à double issue les traversant de part en part, à la 

 manière d'un tore polyédrique ou d'un tunnel de même nature. 



» Il est aisé de voir que les deux derniers cas d'exception rentrent dans 

 la définition d'après laquelle M. Jordan les exclut de la catégorie des po- 

 lyèdres dits w«^/e^ ou eulériens: quant aux deux premiers, on voit immé- 

 diatement, en prenant, par exemple (pour plus de simplicité), l'agrégat 

 de deux tétraèdres, ou de deux cubes, soudés soit par une arête, soit par 

 un sommet, qu'on a alors S -!- H = A -i- ^. 



» V. Dans les considérations préliminaires de son Mémoire, Lhuilier, 

 après avoir cité l'énoncé d'Euler, ajoute : 



» Duiis un piemier liavall (c'esl le Mémoire de i-^')î-i~ôi), l'auteur, n'ayant pu 

 en trouver la démonstration, se contenta de l'exposer sur plusieurs solides d'es])èces 

 dillerentes, et il présenta comme probable, et comme fondée sur l'analogie seulement, 

 la conclusion tirée de ces cas particuliers à la proposition générale. Dans un second 

 tra\ail sur h- même sujet, l'auteur donne eutîii la démonstration de sa proposition. Il 



