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ANALYSE MATHÉMATIQUi:. — Sur les racines d'une équation a/gebrique. 



NoLcdcM. A. C.vYi.EY. 



« Soit /{u) une fonction rationnelle et entière avec de.s coefficients 

 réels ou imaginaires, de l'ordre n; en su|)posant que l'équation y^'(«) r-r o, 

 de l'ordre n — i , ait n i racines, je démontre que l'équation /("') = o 

 aura /( racines. Pour cela, soit f(u) ^=- f(^x ■+- iv) =^ V -\- îQ : je suppose 

 que c dénote une quantité positive donnée, el je considère la surface 

 c — s = P^ + Q'', en attribuant à la coordonnée :; des valeurs positives; 

 c'est seulement pour avoir des maxima au lieu de minima, et pour faciliter 

 ainsi l'exposition, que je prends cette surface au lieu de :; = P* + Q-. On 

 peut donner à c inie valeur si grande que la courbe c= P'h- (V^ soit une 

 courbe fermée qui ne se coupe pas, c'est-à-dire un contour simple : cela 

 étant, on peut se figurer ce contour comme la ligne de rivage d'une île mon- 

 tagneuse; la valeur de z est au plus = c, et, en donnant à :■ une valeiu* 

 plus petite, = h, on a le contour qui correspond à l'altitude b : évidem- 

 ment, les contours qui correspondent à des altitudes diOerentes ne se cou- 

 pent pas. Il s'agit de prouver que l'île a précisément n sommets, chacun 

 de l'altitude c. 



» Cela étant, nous avons 



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