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 on aura un plan tangent horizontal pour F = o, Q=: o, ou pour X = o, 

 Y = o; les valeurs P = o, Q = o, appartiennent à la valeur c de s et cor- 

 respondent à des sommets de montagne de cette altitude c; les valeurs 

 X = o, Y ^ o correspondent à des sommets de col. En effet, nous 

 avons 



Prt- O/i +-X=-f- Y-. 



1 !fj. 



1 <^^; 



2 dx dy 



I rf^f 

 5 f/j^ 



PA-hQw, 

 -Pfi-hO/i + X"-+Y-: 



lonc 



= (X2 + Y-)--(P-+0=)(>r 4-A=), 



valeur positive pour P = o, Q = o; négative pour X = o, Y = o. 



)) A présent, nous avonsy(ar -h iy)=^ X — lY ; donc, en supposant que 

 l'équation/' (a? 4- iy) = o ait « — i racines, il y aura n — i systèmes de va- 

 leurs réelles de x,y qui satisfont aux équations X = o, Y = o; pour chaque 

 système, il y aura des valeurs déterminées de P, Q et de là aussi de s; ces 

 valeurs de z seront en général différentes. Ainsi il y aura dans l'île n — i 

 cols, dont les altitudes seront en général différentes : soient c,,c.,, ..., 

 c„_, ces altitudes, commençant avec la plus petite. 



» Pour :; := o, nous avons un contour simple, et de même pour une 

 valeur quelconque plus petite que c,; mais, pour z = c,, nous avons un 

 col; le contour est une courbe, figure de 8; en donnant à z une valeur un 

 peu plus grande, le contour se divise en deux courbes fermées, ou bien 

 contours simples, extérieurs l'un à l'autre. Pour z — c.,, nous avons encore 

 un col; l'un des contours simples s'est changé en figure de 8, et, pour une 

 valeur un peu plus grande, le contour se divise en trois contours simples, 

 chacun extérieur aux autres. En continuant de cette manière, on a, pour 

 c„_, , le col le plus haut ; le contour est composé de « — 2 contours simples 

 et d'une figure de 8 ; et, en donnant à z une valeur un peu plus grande, on 

 obtient un contour composé de n contours simples, chacun extérieur aux 

 autres. Enfin, en faisant croître z, chacun des contours simples doit se 

 réduire à un point, c'est-à-dire qu'il doit y avoir précisément /î sommets de 

 montagne; mais il n'y a pas de sommet de montagne, sinon pour la va- 

 leur z =- c; donc il y a précisément n sommets de montagne, chacun de 



