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nulent simullanément qu'aux points oii la fonction /(a;, y) est indéter- 

 minée. A'oici maintenant la remarque qu'on peut taire au sujet de cette 

 expression donnée par ]M. Poincaré. Si, par un procédé quelconque, on a 

 mis la même fonction /(a?, j') sous la forme du quotient de deux autres 

 fonctions entières o,(oc, y) et <!j,(x, y), de manière à avoir l'identité 



r i(-'^..r) _ ? (-y. '•) 



on a nécessairement 



?-(•'•.!) = ?(^-.r)G(r,v). 

 'h,(œ,}) = 'l(.v,Y)G(x,y), 



G(x, y) désignant une fonction entière. La démonstration de cette pro- 

 position repose sur les méthodes indiquées par M. Weierstrass dans le 

 Mémoire intitulé Einige auf die Théorie der analvtischen Fitnctionen 

 mehrerer verdnderlichen sich beziehende Sàtze, dont l'exposition détaillée a 

 fait le principal sujet de la thèse de doctorat de M. Dautheville (Paris, 

 i885). 



M Cette remarque étant faite, imaginons que la fonction /(x, y) ad- 

 mette un groupe de périodes a, b, c'est-à-dire que 



/■(.r -Hrt, r + f)) =/(oc, y); 

 on a alors l'identité 



d'oi'i l'on conclut que le rappoi'l 



.s ?(a:-Fg, r-^fc) 



est une fonction entière G(.r, y). I-^e rapport inAerseest aussi une fonction 

 entière; car, en faisant 



x =-- x' — a, y =z y — b, 



l'identité (i) se transforme en la suivante 



?(j',7') _ a(-r'— », j'— 6) 

 J-(x',r') ^(a-' — a.y — ù)' 



