( «8:3 ) 



qui montre que le rapport 



<p(a'— (7,,)'— b) _ 'f(-^' J) 



est une fonction entière. La fonction entière G(j;,j) est donc telle que 

 son inverse est aussi une fonction entière, et l'on a 



G(x,y) =c-f-^-", 



g(x, y) étant une fonction entière. 



)) En résumé, si la fonction /(a;, y) admet une paire de périodes a, f>, 

 les fonctions o et ']/ vérifient des relations de la forme 



, o(.v-ha,v+ b) _ ii/(.f + ff, ,v--l-|fc) _ ^.,.^.,.) 



» Si la fonction admet deux, trois ou quatre paires de périodes, on aura 

 deux, trois ou quatre relations de cette forme (3), que l'on simplifiera 

 comme nous l'avons fait pour les fonctions elliptiques. On arrive ainsi à 

 montrer que les fonctions à quatre paires de périodes, sans singularités 

 essentielles à distance finie, s'expriment à l'aide des ©doubles ('). Ou 

 obtient également, sous une forme intéressante, les expressions des fonc- 

 tions de deux variables, avec deux ou trois paires de périodes. Enfin, on 

 peut établir des relations de la forme Ci) pour les fonctions de deux va- 

 riables X et j, qui n'ont pas de singularités essentielles à distance finie, et 

 qui ne changent j)as de valeur quand on remplace x et j par ax -h by -hc 

 et a'x + b'y -+- c , a, b, c, a', b' , c' désignant des constantes (^). J'espère 

 pouvoir prochainement publier un Mémoire détadlé sur ces différentes 

 questions. » 



(') Voyez, sur ce lliéorème énoncé par Riemanii, la lin d'une LeUie de M. Weiersirass 

 {Journal de Crelle, t. 89), et une Note de MM. Poincaré et Picard ( Comptes rendus, 

 i883, t. \CVII). 



(') Voyez les recherches de M. Fuchs {Journal de Crelle, l. 89 et 90; bulletin des 

 Sciences mathématiques, i' série, t. IV et V). 



