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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les II ansforinations simplement rationnelles 

 des su/faces algébriques. Note de M. Paui. Painlevê, présentée par 

 RI. Picard. 



« Je me propose dans cette Note d'étendre auK transformations simple- 

 ment rationnelles la méthode de M. Picard, relative aux transformations 

 birationnelles des surfaces. Soient 



(i) F(x,y,z)=zo 



l'équation d'une surface algébrique S, p le nombre (plus grand cjue i) des 

 polynômes L linéairement distincts adjoints à la surface, />, le g;enre de 

 l'intersection G de S avec la surface i (ou L ^ o); désignons par y la 

 ccmrbe d'intersection de deux surfaces i; cette courbe rencontre S en 

 {p^ — i) points. 



» Nous distinguerons trois classes de surfaces : la première (la plus 

 générale) comprend les surfaces S pour lesquelles toute surface 1 qui passe 

 par un point de S ne passe pas par d'autres points correspondants (en 

 dehors des points singuliers de S\ Pour ces surfaces, les polynômes L dis- 

 tincts, regardés comme des coordonnées homogènes, définissent (à une 

 transformation homographique près) une surface S, de l'espace à (z' — i) 

 dimensions, dite surface normale, (|ui correspond birationnellement à S. 

 D'une manière plus précise, on peut exprimer que les trois surfaces 



Q, - 7.Q, =. o, Q3— K). - o, 0> - y Q, ^ o 



ont avec S un point commun et un seul. Pour cela, il faut et il suffit que 

 a, p, Y vérifient une relation 



(l') o(a, fi, y) = o, 



et à chaque point (a, p, y) de(i') correspond un seul point {x, y, z) deS. 

 Cette surface S,, qui correspond birationnellement à S, est de degré 

 (/J, — p^ 3), comme l'a montré I\I. Nœther. 



» La deuxième classe (où nous rangeons les surfaces de genre/? = 3) 

 comprend les surfaces pour lesquelles toute surface i, passant ])ar un 

 point de S, passe par (« — i) autres points correspondants : on a né- 



,<tl 



cessairement u^^-—.^- Toute sur/aie 1, tangente à S au point x, y, z 



est 



