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tangente aux points correspondants . Toute courbe y qui passe par {x, y, z) 

 (ou est tangente à S en ce point) passe par les points correspondants 

 (ou est tangente à S en ces points). 



» La troisième classe comprend les surfaces S (en particulier les sur- 

 faces de genre /j = 2) pour lesquelles deux surfaces 1, qui ont un point 

 commun avec S, ont une ligne commune avec cette surface. Pour ces sur- 

 faces, les courbes C se décomposent en courbes de genre i , et le rapport 



^ , - — - est une lonction de -^ — - quand (x, y, z) varie sur S. 



qj{x,y,s) (^^{x,y,z)^ ^ -^ ' 



» Ceci posé, soient une seconde surface S' 



(■.) F'(a.',/,-) = o, 



// et/j, les nombres qui correspondent aux nombres p et/j, . 



)> Admettons qu'on puisse passer rationnellement de (r) à (2) par la 

 transformation 



(3) X =zh{x\y' ,z'), y — k{x\y',z'), z = l(x', y', z'), 



qui dépend de paramètres arbitraires. On démontre, en lépétant le rai- 

 sonnement de M. Picard, que toute intégrale double de première espèce J 

 de S se transforme en une intégrale analogue de S' 



les li étant des constantes. On en conclut que, p étant plus grand (jue i , la 

 transformation (?>) ne saurait dépendre de deux paramétres arbitraires. Si elle 

 dépend d'un paramètre, S rentre dans la troisième classe, et le module des 

 courbes C (de genre 1) est constant. Quand S' est de la troisième classe, iî en 

 est de même de S. Enfin on a, dans tous les cas, p <p', /j, <p\ . 



» Supposons maintenant que S et S' fassent partie de la première classe; 

 on aura 



On devra donc pouvoir déterminer les constantes 1, [;., ... de façon que 

 les rapports a, (b, y, introduits plus haut, vérifient la relation (i'), et ces 

 conditions sont suffisantes. Ceci nous montre qu'on détermine algébrique- 

 ment toutes les transformations (3); il ne saurait, par suite, exister entre (i) 

 et {2) qu'un nombie/ini de transformations rationnelles. Ceci revient à dire 

 qu'on passe de la surface normale S, à la surface normale S\ par une trans- 



