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qu'il n'y aura plus qn';'i elTectuer des quadratures pour obtenir explicite- 

 ment les coordonnées de toutes ces surfaces. 



» Je prendrai pour point de départ une proposition fondamentale, que 

 j'emprunte au Cours professé l'an dernier par M. Darboux, et qui peut 

 s'énoncer ainsi : 



» L'élément linéaire d'une surface étant donné sous la forme générale 



( 1 ) ds- = E du" -r- 2 1" du r/r -t- G dv- , 



on considère V équation aux dérivées partielles 



(2) A {u, r, p,q)= ^^''' "^Q^yt ''' = u 



dont dépend la détermination des géodésiques. Pour que l'élément linéaire (1) 

 soit harmonique , il faut et il suffit que cette équation admette une intégrale du 

 second degré 



(3) o = A/)-+ 2B/;(7 + C^i^ = const., 



dont le premier membre n'ait pas de facteur linéaire ip -+- ■r,q commun avec le 

 trinôme Ep^ — 2F pq -\- Gq-. 



» Si le trinôme ç est le carré d'une fonction linéaire de p et de q, l'élément 

 (i) ne convient qu'à des surfaces applicables sur des surfaces de révolution. 



» La condition pour que l'équation o = const. soit une intégrale de l'équa- 

 tion (2) est que l'on ait, quels que soient p et q, 



dl (?9 dl (h d\ do d\ do _ 



au dp ôp du àv àq dq di' 



M Cela posé, j'exclus de mon analyse les surfaces réglées applicables 

 sur les surlaces de révolution ; elles ont été déterminées par M. Darboux 

 dans une Leçon récente, et je les avais obtenues de mon côté par une 

 autre voie, en me restreignant, il est vrai, au cas des génératrices réelles. 

 D'ailleurs, elles s'obtiennent sans difficulté par l'application du théorème 

 précédent au cas où l'intégrale 9 est du premier degré. Je puis donc 

 prendre pour élément linéaire des surfaces S qui n'ont pas de plan direc- 

 teur tangent au cercle de l'infini 



ds' = du- + [{u - a V 4- l,-\dv\ 



