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» l'om- les suriaces ï, il v a aussi deux formes de l'élément linéaire, 



(II) ds- = du' -I- ( H -+- uv -h be" ) d\>'\ 



(III) ds- = du' -^ (a - 'Ç)dv\ 



a et b désignant deiiK constantes arbitraires. 



» Aux éléments donnés parles formules (I), ( II) et (III) correspondent 

 des surfaces réglées applicables sur des paraboloides, réels ou imaginaires. 

 Ainsi, abstraction faite des surfaces qui ont même cône directeur que la 

 sphère, les surfaces dévelojjpables, les surfaces réglées applicables sur les 

 surfaces de révolution et celles «pii sont applicables sur les quadriques 

 composent l'ensemble des surfaces harmoniques réglées. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations simplement rationnelles 

 des surfaces et sur une classe d'équations différenlielles. Note de M. Paul 

 Painlevé, présentée par M. Picard. 



« Dans une IVote récente {Comptes rendus. 27 janvier 1890), j'ai tait 

 l'étude des transformations rationnelles des surfaces algébriques; j'ai pour 

 cela divisé ces surfaces en trois classes. Soient 



(i) F(^,v,:; = o, 



(2) YXx,y',z') = o 



deux surfaces S et S' et 



(3) x = h{x',y,z'), y=zk{x',y',z'), z = l(x\y',z') 



une substitution rationnelle qui transforme S en S'. 



» Si S est de la première classe, il n'existe qu'un nombre fini de substi- 

 tutions (3), et on les détermine algébriquement. Plus généralement, cher- 

 chons toutes les surfaces S distinctes de la première classe, qui corres- 

 pondent rationnellement à la surface donnée S'. (Nous ne regardons pas 

 comme distinctes deux surfaces qui correspondent birationncUement.) On 

 peut toujours supposer S de degré (/?, — p -h >), par suite de degré au plus 

 égal à (yD, — p' -t- 3). On détermine dés lors algébriquement toutes les sur/aces 

 cherchées de ce degré. Il n'existe qu'un nombre fini q de surfaces S de la 

 première classe réellement distinctes et répondant à la question. 



