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» Plaçons-nous maintenant dans le cas où la surface S appartient à la 

 deuxième classe. On peut déterminer algébriquement toutes les substitu- 

 tions (3) et, par suite, il n'en existe qu'un nombre fini. On le voit, en rai- 

 sonnant comme M. Picard et en exprimant que les équations 



et les équations (i) et (2) déterminent rationnellement un système de 

 valeurs a:, y, z en fonction du point (cc',y',z') de S'. Si /?, =p\, la trans- 

 formation est birationnelle. 



» On peut également déterminer algébriquement. toutes les surfaces S 

 distincies de la deuxième classe, qui correspondent rationnellement à S'. 

 Dans tous les cas, S n'étant pas de la troisième classe, si [j. désigne le 

 nombre des points {x' ,/ , z') qui correspondent à {x,y, z), on a 



{'.{]},- i)ip\-\. 



» Supposons maintenant que S soit de la troisième classe, ce qui a tou- 

 jours lieu si S' appartient aussi à cette classe. Nous aurons 



Il doit exister un faisceau de surfaces i', dépendant de {p — i) paramètres 

 et tel que deux surfaces du faisceau, qui ont un point arbitraire commun, 

 coïncident le long de S'. Cette condition, toujours satisfaite si /j = 2, 

 montre que, si p = //, S' doit être de la troisième cla.sse. Il faut, de plus, 

 que la courbe C (de genre i) 



Q, -aO, = o, F = o 



corresponde rationnellement à la courbe C 



Ql — ='Q}=0' F'--o. 



La question revient à reconnaître si une intégrale de première espèce de 

 la courbe C (pour un certain faisceau de surfaces i) ne se ramène pas aux 

 intégrales elliptiques. 



» Cette question résolue, on déterminerait algébriquement les trans- 

 formations (3). Si le module k" des courbes C est constant, la transformation 

 (3) peut dépendre d'un paramètre et de plusieurs entiers arbitraires. Si k" 



