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nest pas constant, la transformation ne saurait dépendre que d'entiers arbi- 

 traires. 



» Cette étude se rattache au problème de la transformation des fonc- 

 tions hyperfuchsiennes. Elle trouve aussi une application dans la théorie 

 des équations différentielles du second ordre. Soit 



(5) F[y',r',j.(^)]='^ 



une équation dont le premier membre est un polvnûmc, irréductible, en 

 y",}'', y- Supposons que son intégrale générale dépende algébriquement 

 des constantes ; l'intégrale n'admet alors qu'un nombre fini de valeurs se 

 permutant autour des points critiques mobiles (mais la réciproque n'est 

 pas vraie). On peut mettre d'une infinité de manières l'intégrale sous la 

 forme 



a=:R[/',j',r, (a:)]. 



P = R'[/',/o'.(-^)]. 



Y = R''[.y",r',j,(,r)], 



et choisir ces intégrales premières de telle façon que toute intégrale de 

 même forme 



l = '&"\y",y,y,{x)\ 



s'exprime rationnellement en a, p, y, (dans ces égalités, R, R', ... dési- 

 gnent des fonctions rationnelles de y", y' , y). Les quantités a, ^, y sont 

 liées par une relation algébrique 



(6) ç(a, p,y)=o, 



que j'ai appelée relation fondamentale (voir les Comptes rendus, novem- 

 bre i888). 



» Si le genre de (6) est supérieur à (i) et si cette surface n'appartient 

 pas à la troisième classe, l'intégrale de (5) s'obtient algébriquement. Si la 

 surface (G) rentre dans la troisième classe, une intégrale première est de 

 la forme 



et l'équation se ramène à une équation linéaire d'ordre au plus égal à 



» En définitive, proposons-nous le problème suivant : 



» Reconnaître si l'intégrale de (j) dépend algébriquement des constantes. 

 la relation fondamentale correspondante étant de genre plus grand que i . 



