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 qu'Halphen a appelées courbes anharmo niques, et sur les propriétés des- 

 quelles MM. Klein et Lie ont attiré pour la première fois l'attention. M. Ja- 

 met conclut de son théorème (n° 4) que le rayon de courbure, en un point 

 d'une courbure anharmonique, est double de celui de la conique tangente en 

 ce point à la courbe et circonscrite au triangle abc. Dans ma CoramunicaLion 

 faite en iS^S à la Société mathématique, que j'ai déjà rappelée, j'avais si- 

 gnalé et démontré géométriquement cette proposition, qui permet d'éva- 

 luer et de construire très simplement le rayon de courbure des courbes 

 anharmoniques (n°*2et3). On obtient d'ailleurs immédiatement la tan- 

 gente en un point d'une telle courbe, en remarquant, ainsi que je l'ai 

 établi précédemment (*), que cette tangente forme un rapport anharmo- 

 nique constant avec les droites qui joignent son point de contact aux trois 

 points a, b, c. 



» 6. On sait qu'une surface du quatrième ordre de Steiner possède trois 

 droites doubles concourantes A, B, C, et que, pour ce motif, chacun de ses 

 plans tangents la coupe suivant deux coniques. Considérons, en un point m, 

 sur une pareille surface, une des deux lignes asymptotiques (^) qui y pas- 

 sent : cette asymptotique est tangente en tn à l'une des coniques d'inter- 

 section de la surface, par son plan tangent (P) en ce point, et, d'après un 

 théorème bien connu dû à M. Beltrami ('), le rayon de courbure en m de 

 l'asymplotique est les deux tiers de celui de la conique qui lui est tangente 

 en ce point. Mais on connaît de cette conique la tangente en m, qui est une 

 des tangentes conjuguées de la surface, et trois autres points a, b, c, à l'in- 

 tersection du plan tangent (P) avec les droites A, B, C. On peut donc déter- 

 miner le rayon de courbure de la conique et, par conséquent, celui de 

 l'asymptotique, à l'aide des formules ou de la construction que j'ai indi- 

 quées plus haut (n°' 2 et 3). » 



(') Comptes rendus, t. LXXVIII, p. 1698. 



(^) La connaissance de ces lignes est, comme on le sait, due à Glebsch, qui les a 

 trouvées par le calcul {Journal de Crelle, t. 76, p. i à 2a). M. Darboiix les a ensuite 

 obtenues géométriquement, à l'aide d'une représentation plane de la surface {Bulletin 

 de la Société philomaLhiquc; année 1878), p. 87. 



(') Noui,'elles Annales de Mathémaliques, 2" série, t. IV, p. 2d8. 



