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producto toUaiilui' oclo anguli recti plani, remanel aggregaluin e\ omnibus angiilis 

 planis qui in superficiebus corporis solidi existiinl. 



» Cette proposition est, ii peu j)rès dans les mêmes termes, celle que 

 donnent MM. Rouchéet de Comberonsse au § 696 de leur excellent Traité 

 de Géométrie (11^ Partie, p. loç)), sons cet énoncé : 



1) L'angle droit l'iant pris pour unité, la soiiinie des angles de toutes les faces d'un 

 polyèdre ronvexe est égale ii f|uatre fois le nombre des sommets diminué de a. 



» Désignons cette somme par i; le théorème se traduit par la relation 



{a) i-4(S-2). ...('). 



» Plus loin (p. 216, 2'" alinéa). Descartes donne le problème suivant, 

 avec la solution : 1 



» Dato aggregalo ex omnibus angulis planis qui in superficie alicujus corporis so- 

 lidi exislunt, invenire quot in eodem corpore solidi anguli existent. Addantur 8 nu- 

 méro dato et productum dividatur ^er 4, residuuni erit numerus quantus; ubi si 

 fractio occurrat, rertura est nullurn (aie corjjus esse posse. 



» Ce problème est l'inverse pu la réciproque de la proposition précé- 

 dente. Il fournit à Descartes lelsujet de quelques développements que je 

 n'examinerai point pour le monient. 



'I Puis il vient cet autre problème, dont la solution constitue le second 

 théorème qui nous sera nécessaire : 



» Dato aggregatû e\ omnibus angulis planis et numéro facierum, numerum angu- 

 lorum planoruni invenire. Ducatur numerus facierum per /j, et productum addatur 

 aggregalo ex omnibus angulis planis, et totius média pars erit numerus angulorum 



(') L ne iNote intéressante de M. Lhlanue, im|)iimée sous le litre lielcUionx entre 

 les (fiianliiés angalaires des polyèdres coine.res (extrait d'une Lettre à M. Cliasles, 

 du 6 mars 1872), que notre savant Q^nfrère a bien voulu me communicjuer au début 

 de la séance de ce jour, fait connaître (|ue Proulicl, rérudil rédacteur des Notn'elles 

 Annales de Malhémalùjiies, a\ait, peu après la publication de l'Ouvrage de M. Fou- 

 clier de Careil, attiré l'altenlion de l'Académie sur une proposition énoncée par Des- 

 caries (ligne 5 de son Mémoire el suiV.), dont j'aurai à parler prochainement ; et, après 

 en avoir conclu, comme Descartes le fait quelques lignes plus loin, la relation [a) ci- 

 dessus, il donne une formule de lui de laquelle il déduit le théorème d'iiuler 

 S -H F =3 A -h 2 {Comptes rendus, t. L, p. 779; i86o). Je montrerai dans un instant 

 que celle dernière déduction résulte intuillvement des formules mêmes de Descartes, 

 sans aucun secours étraneer. 



