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planorum, ..., sunt semper duplo pluies anguli plani in superficie corporis solidi 

 quam latera; unum enim latus semper commune est duaisus faciebus. 



» Désignant par B le nombre des angles plans du polyèdre, nombre qui 

 est égal à 2A d'après la dernière proposition, le théorème précédent 

 fournit celte seconde relation 



(/,) ^^—A1^R = 2A ou i-=4(A-F) 



qui, rapprochée de la première (a), donne immédiatement, .sy//(.v transfor- 

 mation ni calculs, 



S-r-F-^ Ah- 2; 

 c'est la relation d'Euler. 



» Descartes, qui, selon son habitude, descend rarement dans les détails, 

 ne fait pas ressortir explicitement cette relation, du moins dans ce qui 

 nous a été conservé du Mémoire, mais il ne manque pas de la mettre en 

 évidence dans tous les exemples numériques, au nombre de six, dont il se 

 sert (p. 220 et 222) pour éclaircir, en même temps que celle-ci, d'autres 

 conséquences de sa théorie. On ne saurait donc nier qu'il la connût, puis- 

 qu'elle est une déduction si directe et si simple, disons si intuitive, des 

 deux théorèmes qu'il Aient d'énoncer ('). 



Remarquons d'ailleurs que, d'après les prémisses de Descartes (ana- 

 logues, quanta leur esprit et à leur portée, au raisonnement de Legendre 

 dans sa démonstration classique), la relation ne s'applique qu'aux po- 

 lyèdres convexes, les seuls dont il s'occupe sous le nom àe solides. 



» En résumé, Descartes a connu et appliqué la formule F -1- S = A -t- 2, 



(') Prouhet (/oc. f/7., p. 78 1) remarque pareillement que Descaries n'a point énoncé 

 explicitement le théorème d'Euler, et il croit que ce dernier ne résulte de la relation 

 (a), comme il le fait voir, que par l'intermédiaire d'une série de formules qu'il donne 

 et à l'aide de plusieurs transformations; il croit donc devoir conclure en ces termes : 

 « Mais les règles fort exactes qu'il (Descartes) donne pour déterminer le nombre des 

 éléments de certains solides montrent qu'il avait poussé très loin les conséquences de 

 l'égalité (a). » S'il avait lu la suite du Mémoire de Descartes avec la même attention 

 que les premières lignes, Prouhet y aurait trouvé, deux, pages seulement plus loin, la 

 relation {b), qui est générale et ne s'applique pas seulement à certains solides », et 

 aussi les exemples numériques (p. 220 et 222) qui mettent en lelief la relation 

 S -H F = A H- 2, et il n'eût pas manqué de conclure comme je le fais, puisqu'il suffit 

 d'écrire les deux relations à la suite l'une de l'autre, ce qui donne, après avoir divisé 

 les deux membres par 4. la lelalidji d'Iùiler S — 2 = A — F. 



