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GÉOMÉTRIE. — Sur une généralisation du théorème d'Euler relatif 

 aux polyèdres. Note de M. R. Pekrix. 



'( Dans deux Notes récentes ( ' ), M. de .louquières ;i jippelé l'attention 

 sur le degré de généralité qu'il convient d'attribuer à la l'elation célèbre 

 trouvée |)ar Kuler entre les nombres de faces, de sommets et d'arêtes d'un 



polvèdre, 



F -t- S == A -h -1, 



et sur les cas d exception signalés par di\eis géomètres. Je demande à 

 l'Académie la permission de rappeler ix ce sujet que, dans un travail publié 

 en 1882 (^), j'ai établi l'existence d'une relation entre le nombre p des 

 l'égions que découpe sur une aire ou surface quelconque simplement con- 

 nexe un svstème arbitraire de s lignes, droites ou courbes, joignant entre 

 eux ou à des points quelconques du contour n points ou sommets pris à 

 \olonté; si </est le nombre des points de croisement de ces lignes autres 

 que les n sommets, et g le nombre des groupes de lignes et sommets isolés 

 les mis des autres en même temps que du contour, cette relation est sim- 

 plement 



p = 1 -I- 5 -+- C^ -r- !'■ — n. 



n .l'ai indiqué ensuite, comme extension aux airt-s ou surfaces d'in- 

 dice I ('■'), la relation 



li = ï ^- s -h d — n. 



(') Comptes rendus, séances des 20 el 27 janvier 1890. 



(') Sur le problème des aspects {Bulletin de la Société nialhémalique de France. 

 t. X). 



(') J'appelle indice de connexion, ou siaipleiiienl indice d'une aire ou d'une sur- 

 face fermée, l'excès (positif, nul ou négatif) du nombre n des parties, toutes simple- 

 ment connexes, en lesquelles on peut diviser l'aiie ou la surface par un système arbi- 

 traire de sections, tant rentrantes que transverses, sur le nombre c des sections 

 transverses de ce sjstème. Cet excès I = « — c est en effet indépendant de la disposi- 

 tion des sections, et dépend uniquement de la nature de la surface. (Voir, par exemple, 

 HouEL, Théorie des quarhtités complexes, Z" Partie, Ch. III.) La valeur de l'indice 

 est I pour une aire à un seul contour, 2 pour une sphère, o pour un tore, etc.; el en 

 général 2 — a ou 3 — 5, suivant qu'il s'agit d'une aire on d'une surface fermée, 3 étant 

 l'ordre de connexion, tel qu'on le définit dans la théorie des surfaces (ou de la sphère 

 niultinh") de Uienianii. 



