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 où 11 est la somme des indices des diverses régions s, d el n conservanl la 

 même signification ijuc ci-dessus. Enfin, j'ai fait remarquer incidemment 

 que cette formule, appliquée à un j)olyèilre c/o/it toutes les faces sont sim- 

 plement connexes et ont, par suite, pour indice l'unité, devient 



l'4-S^ A Hl, 



ce qui se réduit à la relation d'Euler lorsque, en outre, 1 — 2, c'est-à-dire 

 lorsque le polvèdre est sphéroïdal (ou eulérien, suivant l'expression de 

 i\l. Jordan ). 



» Ainsi, il suKit d'introdun-e la notion de l'indice de connexion pour 

 faire ap|)araître de la manière la plus nette la véritable nature de la rela- 

 tion d'Euler : cette relation n'est autre chose que ce que devient, pour le 

 cas particulier où i, = i., = i, =^ . . . = i , avec 21—2, la relation tout à fait 

 i^énérale 



ij + Sr^A + il, 



((ui s'applique à tout solitlc linuté dans son ensemble par des surfaces fer- 

 mées distinctes respectivement d'indices I,, L, . . ., lesquelles sont elles- 

 mêmes découpées en faces (plahesou courbes ) d'indices?,, i.^ par un 



système quelconque de A ligues (droites ou courbes;, reliant deux par 

 deux S points disposés d'une manière quelconque. 



» On ne doit d'ailleurs compter dans le nombre A que les arêtes non 

 isolées, c'est-à-dire qui Aont d'iiin sommet à un autre ou d'un sommet à ce 

 même sommet ; et de même dans le nombre S que les sommets non isolés, 

 c'est-à-dire où aboutit au moins une arête. De plus, si quelques-unes des 

 surfaces fermées qui limitent le solide ne sont soudées entre elles que par 

 des points ou des lignes, il faut considérer chacun de ces |)oints ou de ces 

 lignes comme constituant une ouverture ou une fente infiniment petite 

 dans l'une seulement des deux surfaces, ce (pii réduit en général d'une 

 unité l'indice de cette surface et par suite 1 1. 



» Imaginons, par exemple, que sur la face supérieure d'un cube percé 

 d'un trou cylindrique horizontal soient soudés par leurs bases trois cônes 

 droits égaux, dont les cercles de base se touchent deux à deux, mais ne 

 touchent pas les arêtes du cube ; et (jue sur les trois sommets de ces cônes 

 repose un second cube, creusé lui-même d'une cavité cubique. Ln tel 

 solide réunit les trois cas d'exception énumérés par M. de Joncjuières. Il 

 est limité par trois surfaces, dont les indices sont o, — i et 2; d'où il = 1 . 

 Sur ses vingt-trois faces, quatre ont pour indice o, et une — 2, à cause 



