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c'est-à-dire : 



» Le nombre (B) des anf;les plans efleclifs du ]iolyèdre est égal à 2(F-f-S — 2), 

 nombre qui ne saurait excéder 6S — 12. 



» Le mot verorum (effectifs) est mis ici pour marquer qu'il ne s'agit plus 

 des angles cvcntticlsoii additionnels, introduits par la subdivision des faces 

 en triangles, mais bien des angles mêmes de ces faces, telles qu'elles sont. 



M Descartes ayant prouvé (p. 217") que B - - 2A, la proposition précé- 

 dente se traduit immédiatement par la formule 



2Arr. 2(F:-S- 2): 



c'est la relation d'Euler, explicitement exprimée. 



» Outre les applications que Descartes fait implicitement de cette rela- 

 tion à des exemples numériques (p. 220 et 222) que j'ai mentionnés ('), 

 en voici une autre très caractéristi(|ue, qui pourrait à son tour servir de 

 preuve. On lit au premier alinéa de la page 217 (je traduis à partir de la 

 ligne 9) : 



» Connaissant le nombre des angles plans (B) et celui des faces (F) d'un polyèdre, 

 si l'on avait égard à ces seules données, on en déduirait aisément les modes possibles 

 de réj)artilion de ces angles entre les faces : par exemple, si les données sont 5 faces 

 et 18 angles plans, on pourrait avoir 2 faces triangulaires et 3 quadrangulaires, ou 

 bien 3 faces triangulaires, i (juadrangulaire et i pentagonale, ou enfin i face triangu- 

 laire et I hexagonale. .Mais comme ce nu' me solide /lossède nécessai/ entent 6 sommets 

 (sedquia in eodem corpore sunt 6 anguli solidi), la première de ces trois combinaisons 

 est seule compatible avec l'existence du polyèdre. 



» Il est clair, d'après le membre de phrase souligné par moi dans la 

 traduction (aussi bien dans la forme que dans le fond), que Descartes in- 

 troduit le nombre 6 comme étant la conséquence nécessaire d'un principe 

 connu ('■'), et non comme le résultat fortuit des données numériques qui 



est moindre que GS — 1 2, la somme 2 des valeurs des angles des faces est exprimée par 

 4S — 8, l'angle droit servant d'unité ainsi qu'il a été dit plus haut. Le texte dit : ex- 

 pressus erit +4" — 8 — 12; ce qui est manifestement une faute de copic;il fautlire : 

 4^ — 8 angulis rectis. 



(') Comptes rendus, loc. cit., p. 265. 



(') Descartes ne croit pas utile de l'énoncer à cette place, soit parce qu'il résulte de 

 ce qui a déjà été dit dans les pages précédentes, ainsi que je l'ai prouvé dans ma pré- 

 cédente ComnuinicalioD, soit parce qu'il va l'énoncer explicitement à la page suivante, 

 comme je viens de le démontrer dans celle-ci. 



