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M Soil, en second lien, rn z^ '^(^n)\c nombre probable des parties dans 

 l'hypothèse de // jets. On peut déterminer o(>i) de la même manière que 

 /(n). Soit o(/<) le nombre des parties contenues dans toutes les 2" com- 

 binaisons possibles; on a 



<!>(«) == 2"o( n). 



» On obtient <!>(« -!- i ) tle '!>(«), en ajoutant au commencement de chaque 

 combinaison (dont le nombre est 2" ) ou pile (a), ce que ne change pas le 

 nombre <\^(n), ou face {b), ce qu'angmente le même nombre de 2". On a 

 donc 



*(n ^ i) = 2<l)(n) 4- 2", 



2"-^' 9(« -H 1) ^ 2"-"' o(n) ^- 1", 

 o(rt -h i) --<?(«) -1-5. 



écjuation dont la solution est 

 parce qu'on doit a\ oir 





?(i)--i. 

 ■ 1^'cnjeu moyen de Paid poui' une partie lioil cire 



N = .•^— ^ = n(n-\ -2i) 

 <p(/(j 4(/i-,-i) 



" Quand on accepte la condition de leriniiicr le jeu à la preiiuére arrivée 

 de face (cette condition est, ;i mon a\ is, la cause de l'aspect paradoxal du 

 problème, parce qu'elle exclut la répétition du jeu et ôte à Paul la possi- 

 bilité de prendre sa revanche), on rentre dans l'hypothèse d'un/i illimité, 

 parce qu'on ne peut pas assigner un nombre n assez grand, qui devjaii 

 Unir le jeu. On peut regarder le jeu propose comme le premier dans une 

 série infinie d'autres jeux semblables, dont l'enjeu a la môme valeur pro- 

 bable N; et, que le jeu proposp soit le/j/-e/n«er, cela ne change en rien la 

 valeur probable de son enjeu, qui doit donc être 



„ t. /i (rt 4- 3) 



N = Iim -H = oc. 



4=- 4(« H-i) 



1' Les deux problèmes, celui de Saint-Pétersbourg et celui dont j'ai 

 donne la solution, sont différents pour « fini, mais deviennent identiques 

 pour II infiniment grand. » 



