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GÉOMÉTRIE. Sitr les surfaces réglées dont l'élément linéaire est réductible 

 à la forme de Liouville; par AI. Demartres. 



.M. Demartres demande l'ouverture d'un pli cacheté, qui a été déposé 

 par lui, le ii décembre 1889, et inscrit sous le n° 4480. Il ajoute: 



Il Je vous prie de vouloir bien constater que ce pli renferme l'énoncé 

 et la démonstration complète des résultats suivants : 



» Les surfaces réglées qui admettent un système de Liouville sont définies 

 par les conditions suivantes : 



» 1° Le paramétre de distribution des normales est une fonction elliptique 

 de l'arc de la ligne de striction. 



» 2° La tangente de l'angle que fait la ligne de striction avec la génératrice 

 est proportionnelle à ce paramétre de distributio\i. 



» Dans ce même pli, je démontre que les seules surfaces réglées réelles 

 applicables sur une surface de révolutioi^ sont celles qu'a trouvées 

 M. ^ioc\ïe, [Comptes rendus, 19 mars 1888). | 



» Ces théorèmes se rattachant à la questioi^ de concours du prix Bordin, 

 j'avais cru devoir m'abslenir de les publier; mais les Comptes rendus de la 

 séance du 3 février contenant une Note de M.Raffv qui renferme, quoique 

 sans démonstration, l'un de mes résultats, j'espère que l'Académie voudra 

 bien publier ce court résumé de mon Mémoire. 



» D'ailleurs, la méthode que j'ai suivie peut être généralisée. Le ds'- 

 d'une surface étant mis sous la forme Edir- nY dudv -h Cfdv'-, et l'inté- 

 grale auxiliaire sous la forme 



Xp- + 2 Byyr/ C7- — cpnst. . 



si l'on combine les équations de condition qui expriment l'existence de 

 cette intégrale de manière à en faire disparaître les dérivées de A, B, C, 

 par rapport à c, on obtient, comme on peut s'en assurer, un système de 

 trois équations différentielles linéaires du second ordre, ne contenant que 

 les dérivées de A, B, C, par rapport à u, et qui, par conséquent, peuvent 

 être considérées comme des équations différentielles ordinaires. J'ajoute 

 que les zéros ou les pôles (par rapport à u) des fonctions E, F, G sont 

 simplement des pôles pour les coefficients des équations en question. 

 » Donc, toutes les fois que E, F, G seront rationnels par rapport à l'une 



