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Il Soient a, a', V les cosinus directeurs de la droite D et a. a' , a" \ h, b\ h" 

 ceux des tangentes aux courbes (i) et («). Si l'on pose 



on 



^ , j à.T j 1 ().r .' X — .r 



^ yE au y/G ai' R 



et des valeurs analogues pour a', a", b' , 1". 



n Si maintenant on désigne par 0, x et p les angles de la droite I) avec 

 la normale à la surface S et avec les tangentes aux courbes ( u) et ( li), on 

 déduit des équations (2) et (3) » 



( G ) cos oc = ^ j- ' ^0'''P =1 1^ 1-' 



- ■' ■ y/E ou ' y/G on 



il Ces dernières formules montrent que, pour une même expression 

 de R, les angles a, p et dépendent seulement de E et de G ; de là résulte 

 une vérification du théorème de M. Beltramii 



)i D'autre part, supposons que l'on ait | 



(8) E = G = F(U + \|), 



où U et V sont deux fonctions arbitraires, la [première de u et la seconde 

 dev, et où F est une fonction arbitraire de la somme U -l- V; puis considé- 

 rons deux séries de sphères s, et t^ dont les rayons sont respectivement 



(9) R, = r \^dn, R,-= f \/Tch'. 

 » La formule (7) donne 



(10) sin^O, =--iU'. sm=e,=--gV'. 



» Prenons maintenant les dérivées de sin-9, et de sin^Oj pour des dé- 

 placements effectués respectivement suivant les tangentes aux courbes i^u) 

 et (c); on a, en désignant par (Z^, et (/i^a les éléments d'arc des courbes (c) 



el(w;. 



rfsin'e, _ _ U'V'H:' _ rfsin'6. 



