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en représentant par E' la dérivée de E par rapport à la somme U -H V. De 

 là. ce premier résultat : les dérivées de sin-0, et de sin^f)^, prises suivant 

 les déplacements alternés r/.ï._. et ds, sont égales. 



» Réciproquement, si, en supposant la surface S rapportée à un sys- 

 tème de coordonnées orthogonales et isothermes, on a, dans les conditions 

 indiquées plus haut, 



on en déduit, en tenant compte des relations {\o), 



(i3) l -j V -Y" " o: 



^ ^ av on 



d'où 



(f4) Er.F(LM-V). 



1) De là le théorème sui^ant : 



Pour que Vêlement linéaire d'une surface S soit réductible à la forme 



ds-" = F ( U + Y ) ( du"" -h dv- ) . 



il faut et il suffit que l'on puisse mener par chaque point M de la surface, 

 dans des plans P, et l^, respectivement normaux à des courbes formant un 

 système orthogonal et isotherme, deux droites D, e/ D,, engendrant deux con- 

 gruences de normales, et formant avec la normale à la surface S des angles 0, 

 et 9^,. qui vérifient, en chaque point . la relation 



où les dérivées de sin-9, et de sin'O, sont prises respectivement pour des direc- 

 tions perpendiculaires (I V, etV^^ 



'I 



» Quand on particularise la fonction F de la somme U -+- V, on peut, 

 quelquefois, simplifier le résultat expiinié par la relation (i >)■ Considé- 

 rons, par exemple, les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la 

 forme de Liouville. Si l'on prend 



(iG) R, = Ç s/\jdu, Rj-: Ç y/Vdv, 



