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 et M. Elliot, dans une Note récente, a appliqué ces généralités à une classe 

 d'équations particulière. J'ai, de mon côté, indiqué (Comptes rendus, oc- 

 tobre 1888) l'utilité que présentent la transformation (1) et les invariants 

 correspondants pour l'étude des équations du premier ordre dont l'inté- 

 grale n'admet qu'un nombre donné de valeurs se permutant autour des 

 points critiques mobiles. Je veux insister ici sur ce point. 

 » Soit 



une équation où P et Q représentent deux polynômes en j de degré i et y. 

 Si n désigne le plus grand des deux nombres i ety'-f- 2, la substitution (i) 

 la plus générale transforme l'équation ( 2) en une équation analogue où 

 le numérateur est de degré n, le dénominateur de degré (n — 2) en y. On 

 peut toujours supposer l'équation (:i) écrite sous cette forme, en intro- 

 duisant (s'il est nécessaire) des coefficients nuls. Pour qu'on puisse passer 

 de l'équation (2) à une équation analogue (2)', par une substitution (i), 

 il faut et il suffit que les {-m -5) invariants dislincis de chaque équation 

 soient égaux respectivement. 



» Il est facile de ramener l'équation (2) la plus générale à une forme 

 réduite où ces invariants sont mis en évidence. Soit y. une racine, d'ordre p, 

 de l'équation 



(3) Q(a,a;)^o; 



en posant 



on détermine ^, S et 9, à l'aide de deux quadratures, de telle façon que 

 l'équation en j',, a-, soit de la forme 



, ,. . _ ylj + ««-2(^1 ) J?"' + ••■-!- ain~p+ï) (-Ti )yV*^ -r- a(„_p) ( x^ )y'[-'' -f . . . h- <?„ ( or, ) 

 \0 J< - rr'-''+6„-,(^,)7r'"''-l---- + èo(^>) 



)) Les coefficients de/" au numérateur, Aey"^^''' au dénominateur, sont 

 égaux à l'unité; les termes de degré (n — i) et (n — i — /?) manquent au 

 numérateur. A chaque racine x de (3) correspond une forme réduite (4). 

 La racine a. étant déterminée, les coefficients de (4) dépendent de deux 

 constantes arbitraires : toutes les équations (4) s'obtiennent en rem- 



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