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plaçaul fkins l'une d'entre elles j, par Cv,, cl r, par iç^i '- ^>)' C et A 



étant deux constantes. Daxis le cas général,/; — i; les (2/1 — 5) coefficients 

 de (4) forment un système d'invariants distincts de l'équation (2). L'équa- 

 tion de Riccati est la seule qui ne puisse se ramener à une forme telle 

 que (4). 



» Par exemple, l'équation . 



/ 5 ) y' — -J. -1 ^ 



(déjà étudiée par MM. Appcll et R. Liouvillc)sc transforme, par une sub- 

 stitution (i), en la suivante : 



(5)' y=j'+j. 



» De même, l'équation 

 se ramène à l'une des deux formes 



/r\, I V* + Ay-|-B , *,*■>, r> 



(^) y= y^Q r~ ^" y-j* + Aj-H-B, 



suivant que les racines du dénominateur sont distinctes ou confondues. 



» Proposons-nous maintenant d'étudier les équations (2) dont l'inté- 

 grale générale ne prend que deux valeurs autour des points critiques mo- 

 biles: ces équations sont de la forme (5) ou (6); on les ramène d'abord 

 aux formes (5)' ou (6)', et l'on détermine facilement les conditions inva- 

 riantes auxquelles elles doivent satisfaire; on forme même, expUciteinent, 

 toutes ces équations, comme aussi toutes leséquations(5) dont l'intégrale 

 ne prend que trois valeurs autour des points critiques mobiles, etc. 



» Dans un autre ordre d'idées, on peut chercher à reconnaître si une 

 équation (2) se ramène, par une substitution (i), à une équation (2)' nu- 

 mériquement déterminée. La substitution (i), quand elle existe, s'obtient 

 algébriquement, à moins que ré(|uation considérée ji'admette un groupe 

 continu de transformations (i). L'équation de Riccati jouit de cette pro- 

 priété. Existe-t-il d'autres équations (2) qui restent invariantes pour un 

 tel groupe? Pour le voir, ramenons l'équation (2) à la forme réduite (4)- 

 Sous cette forme, l'équation ne peut rester invariante que pour une substi- 



