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» 3. Voici quelques applications : \" n r -x; conique à centre rapportée à 

 deux diamètres conjugués. On a p = ms. Le centre de courbure [j. et les trois 

 points p, q, r sont sur une même circonférence . M. de Longcharaps est arrivé 

 à ce résultat, par une voie différente, dans le cas particulier où la conique 

 est rapportée à ses axes ('). 



» 2° /2 = |. Ce cas comprend les développées des coniques à centre et ^hy- 

 pocycloïde à trois rebroussements. On a alors p = "ims. On en conclut immé- 

 diatement une propriété connue du rayon de courbure de l'hypocvcloïde 

 à trois rebroussements. 



» 3" rj = i; parabole tangente à ov et à oy. On a p = "ims. De là un 

 moyen facile de construire les centres de courbure des paraboles qui 

 servent, dans le tracé des routes et des canaux, à raccorder deux aligne- 

 ments droits. 



» 4. Les paraboles et hyperboles de 'divers ordres sont définies, en coor- 

 données cartésiennes, par une équation de la forme 



(2) y=~-kv\ 



V étant un nondjre quelconque, positif pour les paraboles, négatif pour les 

 hyperboles. D'un théorème sur les courbes anharmoniques (^), dont 

 les courbes (2) ne sont qu'un cas particulier, on conclut que le rayon de 

 courbure p en m d'une courbe (2) est le double du rayon de courbure, au même 

 point, de l' hyperbole qui la touclie en ce point, qui passe par l'origine o et 

 dont les asymptotes sont parallèles aux axes de coordonnées. D'où 



mp.mq 

 mr 



Par suite, le centre de courbure [j. est sur la circonférence passant par les trois 

 points p, q et r. 



I) 5. On construit ainsi, on ne peut plus aisément, le rayon de cour- 

 bure, en un point, d'une parabole ordinaire (v ■= 1), connaissant la tan- 

 gente en ce point, une seconde tangente et son point de contact, les 

 rayons de courbure de la parabole semi-cubique (v r= |) et en particulier 

 de la développée de la parabole du second degré, de la parabole cubique 

 (v = 3) (^), de V hyperbole ordinaire (v = - i), dont on conuaît un point 

 et les deux asymptotes. ^ 



(') Nouvelles Annales de Malhémalkjues, 2'' séiie, t. XIX, p. 70. 



('■') Page 781 de ce même Volume. 



(') On sait que l'on emploie la paral)ole rubique, dans l(? Iracé des voies ferrées, 



